正项级数比较判别法

正项级数是各项均为非负实数的无穷级数。比较判别法是判断正项级数收敛或发散的一种重要方法。它通过将待判定的级数与已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出结论。

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基本形式：

设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 都是正项级数。

1. 若存在正整数 $N$ 和常数 $M>0$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\le M{b}_n$，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 收敛，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 也收敛。

   • 解释： 如果从某一项开始，级数 $\sum a_n$ 的每一项都小于等于级数 $\sum b_n$ 的对应项乘以一个常数，并且 $\sum b_n$ 收敛，那么 $\sum a_n$ 也收敛。 $\sum a_n$ 可以看作是 $\sum b_n$ 的“更小”的级数，所以如果“更大”的级数收敛，那么“更小”的级数也必然收敛。

2. 若存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\ge b_n$，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 发散，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 也发散。

   • 解释： 如果从某一项开始，级数 $\sum a_n$ 的每一项都大于等于级数 $\sum b_n$ 的对应项，并且 $\sum b_n$ 发散，那么 $\sum a_n$ 也发散。 $\sum a_n$ 可以看作是 $\sum b_n$ 的“更大”的级数，所以如果“更小”的级数发散，那么“更大”的级数也必然发散。

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极限形式：

设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 都是正项级数。

1. 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=L$，其中 $0<L<\infty$，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 同敛散性。

   • 解释： 如果当 $n$ 趋于无穷大时，两个级数对应项的比值的极限存在且有限且非零，那么这两个级数要么同时收敛，要么同时发散。 在这种情况下，对于足够大的 $n$， $a_n$ 和 $b_n$ 在大小上是“相似”的，因此它们的敛散性相同。

2. 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=0$，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 收敛，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 也收敛。

   • 解释： 如果当 $n$ 趋于无穷大时，两个级数对应项的比值的极限为 0，并且 $\sum b_n$ 收敛，那么 $\sum a_n$ 也收敛。 这种情况意味着对于足够大的 $n$， $a_n$ 比 $b_n$ 小得多，所以如果 $\sum b_n$ 收敛，那么 $\sum a_n$ 也必然收敛。

3. 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=\infty$，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 发散，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 也发散。

   • 解释： 如果当 $n$ 趋于无穷大时，两个级数对应项的比值的极限为无穷大，并且 $\sum b_n$ 发散，那么 $\sum a_n$ 也发散。 这种情况意味着对于足够大的 $n$， $a_n$ 比 $b_n$ 大得多，所以如果 $\sum b_n$ 发散，那么 $\sum a_n$ 也必然发散。

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重要说明:

• 比较判别法的关键在于选择合适的比较对象 $\sum b_n$。通常选择 $p$-级数 ($\sum \frac{1}{n^p}$) 或几何级数 ($\sum r^n$) 作为比较对象。
• $p$-级数：当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。
• 几何级数：当 $|r|<1$ 时收敛，当 $|r|\ge 1$ 时发散。
• 比较判别法只能用于正项级数。对于交错级数或其他类型的级数，需要使用其他判别法。

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例子:

判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$ 的收敛性。

解：

我们选择 $p$-级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 作为比较对象。 因为 $\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$ 对于所有 $n\ge 1$ 都成立，并且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 收敛 (因为 $p=2>1$)，所以由比较判别法，${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$ 也收敛。

也可以使用极限形式:

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{n^2+1}}{\frac{1}{n^2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{n^2+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}=1$

因为极限存在且有限且非零，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$ 也收敛。

总而言之，正项级数比较判别法是一种简单而有效的判断正项级数敛散性的方法。 掌握好比较判别法，对于理解和应用无穷级数理论至关重要。