积分判别法

正项级数的柯西积分判别法

设 $f(x)$ 是 $[1,+\infty )$ 上的单调递减的正值连续函数，则正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 收敛的充要条件是广义积分 ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 收敛。

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证明：

必要性：

假设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 收敛。由于 $f(x)$ 在 $[n,n+1]$ 上单调递减，因此有：

$f(n+1)\le f(x)\le f(n),x\in [n,n+1]$

对不等式在 $[n,n+1]$ 上积分，得到：

${\int }_n^{n+1}f(n+1)dx\le {\int }_n^{n+1}f(x)dx\le {\int }_n^{n+1}f(n)dx$

$f(n+1)\le {\int }_n^{n+1}f(x)dx\le f(n)$

对 $n$ 从 1 到 $N-1$ 求和，得到：

${\sum }_{n=1}^{N-1}f(n+1)\le {\sum }_{n=1}^{N-1}{\int }_n^{n+1}f(x)dx\le {\sum }_{n=1}^{N-1}f(n)$

${\sum }_{n=2}^{N}f(n)\le {\int }_1^{N}f(x)dx\le {\sum }_{n=1}^{N-1}f(n)$

由于 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 收敛，所以 ${\sum }_{n=2}^{N}f(n)$ 收敛，即 ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=2}^{N}f(n)$ 存在。

因此，${\int }_1^{N}f(x)dx\le {\sum }_{n=1}^{N-1}f(n)\le {\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$，表明 ${\int }_1^{N}f(x)dx$ 有上界。又因为 $f(x)>0$，所以 ${\int }_1^{N}f(x)dx$ 单调递增且有上界，因此 ${\lim }_{N\to \infty }{\int }_1^{N}f(x)dx={\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 存在，即广义积分 ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 收敛。

充分性：

假设广义积分 ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 收敛。由于 $f(x)$ 在 $[n,n+1]$ 上单调递减，因此有：

$f(n+1)\le f(x)\le f(n),x\in [n,n+1]$

对不等式在 $[n,n+1]$ 上积分，得到：

${\int }_n^{n+1}f(n+1)dx\le {\int }_n^{n+1}f(x)dx\le {\int }_n^{n+1}f(n)dx$

$f(n+1)\le {\int }_n^{n+1}f(x)dx\le f(n)$

对 $n$ 从 1 到 $N-1$ 求和，得到：

${\sum }_{n=1}^{N-1}f(n+1)\le {\sum }_{n=1}^{N-1}{\int }_n^{n+1}f(x)dx\le {\sum }_{n=1}^{N-1}f(n)$

${\sum }_{n=2}^{N}f(n)\le {\int }_1^{N}f(x)dx\le {\sum }_{n=1}^{N-1}f(n)$

即 ${\sum }_{n=2}^{N}f(n)\le {\int }_1^{N}f(x)dx$

由于 ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 收敛，因此 ${\int }_1^{N}f(x)dx\le {\int }_1^{\infty }f(x)dx$。

所以，${\sum }_{n=2}^{N}f(n)\le {\int }_1^{\infty }f(x)dx$。

因此，${\sum }_{n=2}^{N}f(n)$ 有上界，又因为 $f(n)>0$，所以 ${\sum }_{n=2}^{N}f(n)$ 单调递增且有上界，因此 ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=2}^{N}f(n)$ 存在，即 ${\sum }_{n=2}^{\infty }f(n)$ 收敛。

因此，${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)=f(1)+{\sum }_{n=2}^{\infty }f(n)$ 收敛。

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例子：

判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 的收敛性，其中 $p>0$。

令 $f(x)=\frac{1}{x^p}$，显然 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递减且为正值连续函数。

考虑广义积分 ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$。

当 $p=1$ 时，${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx={\lim }_{t\to \infty }{\int }_1^t\frac{1}{x}dx={\lim }_{t\to \infty }[\ln x{]}_1^t={\lim }_{t\to \infty }(\ln t-\ln 1)=\infty$，积分发散。

当 $p\ne 1$ 时，${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx={\lim }_{t\to \infty }{\int }_1^t{x}^{-p}dx={\lim }_{t\to \infty }[\frac{x^{1-p}}{1-p}{]}_1^t={\lim }_{t\to \infty }(\frac{t^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{1-p})$。

• 如果 $1-p<0$，即 $p>1$，则 ${\lim }_{t\to \infty }\frac{t^{1-p}}{1-p}=0$，所以 ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx=-\frac{1}{1-p}=\frac{1}{p-1}$，积分收敛。
• 如果 $1-p>0$，即 $p<1$，则 ${\lim }_{t\to \infty }\frac{t^{1-p}}{1-p}=\infty$，所以 ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx=\infty$，积分发散。

因此，根据积分判别法，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。

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这个方法的好处：

1. 迁移已有知识：
   我们已经对很多函数的反常积分（如 ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$）的敛散性非常熟悉。通过积分判别法，可以直接将这些结论迁移到对应的级数上。例如：

   • 因为 ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$ 当且仅当 $p>1$ 时收敛，
   • 所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$（即 p-级数）也当且仅当 $p>1$ 时收敛。

2. 提供直观的几何解释：
   积分判别法本质上是通过比较级数的部分和与积分的面积（用矩形逼近曲线下面积），给出一个直观的“夹逼”关系，有助于理解级数与积分之间的联系。

3. 适用于单调递减的正项函数：
   对于很多自然出现的正项级数（如对数、幂函数、指数衰减等），其通项往往来自一个单调递减的函数，因此积分判别法适用范围较广。

4. 有时比比值判别法或根值判别法更有效：
   比如对于 $\sum \frac{1}{n\ln n}$，比值判别法失效（极限为1），但用积分判别法可以轻松判断其发散（因为 ${\int }_2^{\infty }\frac{1}{x\ln x}dx=\ln (\ln x){|}_2^{\infty }\to \infty$）。