14 幂级数

一、幂级数及其收敛性

1. 幂级数的定义

幂级数是指形如

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\cdots$$

的级数。当 $a=0$ 时，称为麦克劳林级数：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$$

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2. Abel 定理

如果幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=x_0(x_0\ne 0)$ 处收敛，则对于所有满足 $|x|<|x_0|$ 的 $x$，级数绝对收敛；
如果它在 $x=x_0$ 处发散，则对于所有满足 $|x|>|x_0|$ 的 $x$，级数发散。

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3. 收敛半径与收敛域

收敛半径 $R$ 是一个正数，定义为：

$$R=\sup \left\{|x|:\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\text{ 收敛}\right\}$$

• 当 $|x|<R$ 时，级数绝对收敛；
• 当 $|x|>R$ 时，级数发散；
• 当 $x=R$ 或 $x=-R$ 时，可能收敛也可能发散。

收敛域可能是以下区间之一：

$$(-R,R),[-R,R),(-R,R],[-R,R]$$

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4. 收敛半径的计算

设 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p$ 或 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=p$，则：

• 若 $p\ne 0$，则 $R=\frac{1}{p}$；
• 若 $p=0$，则 $R=+\infty$；
• 若 $p=+\infty$，则 $R=0$。

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5. 例题

例1：求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{2^n}$ 的收敛域。
解：由比值判别法得收敛半径 $R=\sqrt{2}$，收敛域为 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。

例2：求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n}$ 的收敛域。
解：收敛半径 $R=1$，在 $x=1$ 处收敛，在 $x=-1$ 处发散，收敛域为 $(-1,1]$。

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二、幂级数的和函数的分析性质

1. 一致收敛性

若幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$，则它在任意闭区间 $[-a,a]\subset (-R,R)$ 上一致收敛。

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2. 和函数的连续性

和函数 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $(-R,R)$ 内连续。

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3. 和函数的可积性

和函数在 $[0,x]\subset (-R,R)$ 上可积，且可逐项积分：

$${\int }_0^{x}S(t)dt=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$$

积分后级数的收敛半径不变。

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4. 和函数的可导性

和函数在 $(-R,R)$ 内可导，且可逐项求导：

$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$

求导后级数的收敛半径不变。

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5. Abel 第二定理

若幂级数在 $x=R$ 处收敛，则和函数在 $x=R$ 处左连续；
若在 $x=-R$ 处收敛，则和函数在 $x=-R$ 处右连续。

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三、求幂级数的和函数

1. 常用和函数的幂级数

1. ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x},x\in (-1,1)$
2. ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}=\frac{1}{1+x^2},x\in (-1,1)$
3. ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}=\frac{1}{1-x^2},x\in (-1,1)$
4. ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=\ln (1+x),x\in (-1,1]$

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2. 例题

例：求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$ 的和函数。
解：收敛域为 $(-1,1]$，令 $s(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$，
求导得 $s^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}$，积分得 $s(x)=\ln (1+x)$。
在 $x=1$ 处，$s(1)=\ln 2$，故和函数为 $\ln (1+x)$，$x\in (-1,1]$。

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四、泰勒级数

1. 泰勒级数与麦克劳林级数

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处任意阶可导，则其泰勒级数为：

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

当 $x_0=0$ 时，称为麦克劳林级数。

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2. 展开条件

函数 $f(x)$ 能展开成泰勒级数的充要条件是泰勒余项 $R_n(x)\to 0$（当 $n\to \infty$）。
若存在 $M>0$，使得对所有 $n$ 和 $x\in (a-r,a+r)$，有 $|f^{(n)}(x)|\le M$，则泰勒级数收敛于 $f(x)$。

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3. 展开方法

• 直接法：计算 $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$，并验证余项趋于零。
• 间接法：利用已知展开式，通过变量代换、四则运算、求导、积分等方法得到新展开式。

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4. 唯一性定理

若 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n$，则展开式唯一，且

$$a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

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5. 常见函数的泰勒展开

• $\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in \mathbb{R}$
• $\cos x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in \mathbb{R}$
• $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},x\in \mathbb{R}$
• $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},x\in (-1,1]$
• $\arctan x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},x\in [-1,1]$

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6. 例题

例1：将 $f(x)=\frac{1}{5-x}$ 在 $x_0=2$ 处展开为泰勒级数。
解：

$$\frac{1}{5-x}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{x-2}{3}}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{3^{n+1}}(x-2{)}^n,x\in (-1,5)$$

例2：求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)\cdot 4^n}$ 的和。
解：利用 $\arctan x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，令 $x=\frac{1}{2}$，得

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)\cdot 4^n}=2\arctan \frac{1}{2}$$