交错级数及其判别法

交错级数的定义

交错级数是指各项符号交替变化的无穷级数。其一般形式可以表示为：

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$

或者

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\cdots$

其中，$a_n$ 均为正数，即 $a_n>0$。

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莱布尼茨判别法

莱布尼茨判别法（Leibniz’s test）是判断交错级数收敛性的一个重要方法。

定理： 若交错级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$ 满足以下两个条件：

1. $a_n>0$ 对于所有 $n$ 成立。
2. $a_n$ 单调递减，即 $a_{n+1}\le a_n$ 对于所有 $n$ 成立。
3. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$。

则该交错级数收敛。且余项满足$|R_n|\le u_{n+1}$.

解释：

• $a_n\ge 0$： 保证了我们讨论的是一个交错级数，各项都是正数或零。
• $a_n$ 单调递减： 保证了各项的绝对值越来越小，使得正负项的相互抵消效应越来越明显。
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$： 保证了各项的绝对值趋近于零，这是级数收敛的一个必要条件。

证明：

我们以级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$$

为例（首项为正），其中 $a_n\ge 0$，单调递减且 $a_n\to 0$。

记部分和为：

$$S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{a}_k.$$

步骤 1：构造两个子列

考虑偶数项和奇数项的部分和：

• 偶数部分和： $$S_{2n}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots +(a_{2n-1}-a_{2n})$$
• 奇数部分和： $$S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}$$

由于 $a_n$ 单调递减且非负，有 $a_{2k-1}\ge a_{2k}$，所以每一括号 $a_{2k-1}-a_{2k}\ge 0$，因此：

• $S_{2n}$ 是单调递增的（因为每次加一个非负数）；
• 又因为 $$S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\cdots -a_{2n}\le a_1,$$ 所以 $S_{2n}$ 有上界（例如 $a_1$）。

因此，由单调有界定理，$\{S_{2n}\}$ 收敛，设其极限为 $L$。

步骤 2：奇数部分和也收敛到同一极限

注意到：

$$S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}.$$

由于 $a_{2n+1}\to 0$，且 $S_{2n}\to L$，所以：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n+1}=L+0=L.$$

因此，奇数项和偶数项的部分和都收敛到同一个极限 $L$。

步骤 3：整个序列 $\{S_n\}$ 收敛

任意 $n$ 要么是偶数要么是奇数，所以整个部分和序列 $\{S_n\}$ 的两个子列都收敛于 $L$，故

$$S_n\to L.$$

因此，交错级数收敛。

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莱布尼茨判别法的应用举例

例1： 考虑级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ (调和级数交错形式)

• $a_n=\frac{1}{n}>0$ 对于所有 $n$ 成立。
• $a_n$ 单调递减，因为 $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ 对于所有 $n$ 成立。
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$。

因此，根据莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。 注意，该级数收敛，但是绝对值级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 是发散的 (调和级数)。 我们称该级数为条件收敛。

例2： 考虑级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$

• $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}>0$ 对于所有 $n$ 成立。
• $a_n$ 单调递减，因为 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$ 对于所有 $n$ 成立。
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n}}=0$。

因此，根据莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。

例3： 考虑级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{n}{n+1}$

• $a_n=\frac{n}{n+1}>0$ 对于所有 $n$ 成立。
• $a_n$ 单调递增，因为 $\frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+1}$ 对于所有 $n$ 成立。 （不满足单调递减的条件）
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1\ne 0$。

因此，莱布尼茨判别法不能用来判断该级数的收敛性。 但是，由于 ${\lim }_{n\to \infty }(-1{)}^{n-1}\frac{n}{n+1}\ne 0$，所以该级数发散（因为级数收敛的必要条件是通项趋于零）。

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注意事项

• 莱布尼茨判别法只能判断交错级数的收敛性，不能给出级数收敛到的具体值。
• 如果莱布尼茨判别法的条件不满足，不能得出级数一定发散的结论。 可能需要使用其他判别法。
• 莱布尼茨判别法是判断条件收敛的重要工具。 如果一个交错级数收敛，但是其绝对值级数发散，则称该级数为条件收敛。 如果绝对值级数也收敛，则称该级数为绝对收敛。