柯西乘积

定义

柯西乘积 (Cauchy product) 是指两个无穷级数相乘得到的新级数。更具体地说，给定两个无穷级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$, 它们的柯西乘积是一个新的级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$, 其中 $c_n$ 由下式定义:

$c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+a_2{b}_{n-2}+\cdots +a_{n-1}{b}_1+a_n{b}_0$

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例子

考虑两个级数：

${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n=1+x+x^2+x^3+\cdots$

${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n=1+x+x^2+x^3+\cdots$

其中 $a_n=x^n$ 且 $b_n=x^n$。 它们的柯西乘积的系数 $c_n$ 为：

$c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}={\sum }_{k=0}^n{x}^k{x}^{n-k}={\sum }_{k=0}^n{x}^n=(n+1)x^n$

因此，柯西乘积为：

${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n={\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)x^n=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$

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收敛性

如果两个级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ 都绝对收敛，即 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n|$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|b_n|$ 都收敛，那么它们的柯西乘积 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$ 也绝对收敛，并且有：

$({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n)({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$

如果 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ 都收敛，并且至少有一个绝对收敛，那么它们的柯西乘积也收敛，且满足上述等式。

但是，如果两个级数都只是条件收敛，那么它们的柯西乘积可能不收敛。

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