根式判别法

根式判别法内容

设 $\sum u_{n}$ 是正项级数，令

$ρ = lim_{n \to \infty} n u_{n}$

则有：

(1) 若 $ρ < 1$ ，则级数 $\sum u_{n}$ 收敛；

(2) 若 $ρ > 1$ ，则级数 $\sum u_{n}$ 发散；

(3) 若 $ρ = 1$ ，则判别法失效，需要使用其他方法判别。

根式判别法（或称为柯西判别法）是一种判断正项级数敛散性的方法。其核心思想是比较级数的一般项 $u_{n}$ 的 n 次方根的极限与 1 的大小。

$ρ < 1$ 时级数收敛: 当 $ρ < 1$ 时，意味着当 n 足够大时， $n u_{n}$ 小于某个小于 1 的数。换句话说， $u_{n}$ 衰减的速度比等比数列更快，因此级数收敛。
$ρ > 1$ 时级数发散: 当 $ρ > 1$ 时，意味着存在无穷多个 n，使得 $n u_{n} > 1$ ，即 $u_{n} > 1$ 。因此，级数的一般项不趋于 0，从而级数发散。
$ρ = 1$ 时判别法失效: 当 $ρ = 1$ 时，不能确定级数的敛散性。例如，对于级数 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ 和 $\sum \frac{1}{n}$ ，都有 $lim_{n \to \infty} n \frac{1}{n ^{2}} = 1$ 和 $lim_{n \to \infty} n \frac{1}{n} = 1$ ，但前者收敛，后者发散。

例1: 判断级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n}{2 n + 1})^{n}$ 的敛散性。

解：令 $u_{n} = (\frac{n}{2 n + 1})^{n}$ ，则

$n u_{n} = n (\frac{n}{2 n + 1})^{n} = \frac{n}{2 n + 1}$

$lim_{n \to \infty} n u_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} < 1$

因此，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n}{2 n + 1})^{n}$ 收敛。

例2: 判断级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n}$ 的敛散性 (其中 $x > 0$ )。

解：令 $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n}$ ，则

$n u_{n} = n (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} x$

$lim_{n \to \infty} n u_{n} = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} x = e x$