比式判别法

比式判别法内容

设 $\sum u_{n}$ 是正项级数，令

ρ = n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

则有：

(1) 若 $ρ < 1$ ，则级数 $\sum u_{n}$ 收敛；

(2) 若 $ρ > 1$ ，则级数 $\sum u_{n}$ 发散；

(3) 若 $ρ = 1$ ，则判别法失效，需要使用其他方法判别。

比式判别法（也称为达朗贝尔判别法）是判断正项级数敛散性的重要工具。其核心思想是比较相邻两项的比值 $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ 的极限与 1 的大小关系。

$ρ < 1$ 时级数收敛：
当 $ρ < 1$ 时，意味着从某一项开始，后一项比前一项“显著地小”，即级数的项以比某个公比小于 1 的等比数列更快的速度趋于零，因此级数收敛。
$ρ > 1$ 时级数发散：
当 $ρ > 1$ 时，说明从某一项起，后一项比前一项“更大”或不趋于零，即 $u_{n}$ 不趋于 0，从而级数发散。
$ρ = 1$ 时判别法失效：
当极限为 1 时，无法判断敛散性。例如：
- 对于收敛级数 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ ，有
  $n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{n ^{2}}{( n + 1 ) ^{2}} = 1$ ；
- 对于发散级数 $\sum \frac{1}{n}$ ，有
  $n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{n}{n + 1} = 1$ 。
  两者极限均为 1，但敛散性不同，故此时比式判别法无效。

注：比式判别法特别适用于含阶乘（如 $n!$ ）、指数（如 $a^{n}$ ）、幂函数组合的通项，因为相邻项的比值往往可以简化。

例1： 判断级数 $n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}}$ 的敛散性。

解：令 $u_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}$ ，则

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = \frac{( n + 1 ) \cdot n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = \frac{n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}}

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} = \frac{1}{e} < 1

因此，级数 $n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}}$ 收敛。

例2： 判断级数 $n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}$ 的敛散性（其中 $x > 0$ ）。

解：令 $u_{n} = \frac{x ^{n}}{n !}$ ，则

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \cdot \frac{n !}{x ^{n}} = \frac{x}{n + 1}

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{x}{n + 1} = 0 < 1

无论 $x > 0$ 取何值，极限恒为 0，小于 1，因此该级数对任意 $x > 0$ 均收敛（事实上，对所有实数 $x$ 都收敛，这是指数函数的泰勒级数）。

例3： 判断级数 $n = 1 \sum \infty \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} \cdot \frac{1}{4 ^{n}}$ 的敛散性。

解：令 $u_{n} = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} \cdot \frac{1}{4 ^{n}}$ ，则

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( 2 n + 2 )!}{[( n + 1 )! ] ^{2}} \cdot \frac{1}{4 ^{n + 1}} \cdot \frac{( n ! ) ^{2}}{( 2 n )!} \cdot 4^{n} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{4 ( n + 1 )} = \frac{2 n + 1}{2 ( n + 1 )}

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{2 n + 1}{2 n + 2} = 1

此时 $ρ = 1$ ，比式判别法失效，需改用其他方法（如斯特林公式或根式判别法）进一步判断。实际上，该级数发散（可由中心二项式系数渐近行为 $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{πn}$ 得出 $u_{n} \sim \frac{1}{πn}$ ，与调和级数同阶而发散）。

例4： 失效

\sum u_{n} = n = 1 \sum \infty \frac{2 + ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} 收敛, 但是 n \to \infty lim \frac{u _{n} + 1}{u _{n}} 不存在 .

收敛可以由部分和有界(正项级数收敛基本定理)来判别.

总结：

比式判别法适用于通项含阶乘、指数等“可约简比值”的结构；

当极限为 1 时，应考虑根式判别法、积分判别法、比较判别法或渐近分析等其他工具。