阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

阿贝尔判别法

描述:

设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, $\{b_n\}$ 是单调有界数列, 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛.

证明思路:

利用 Abel 变换，将 ${\sum }_{n=1}^N{a}_n{b}_n$ 变形，然后利用 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛和 $\{b_n\}$ 单调有界这两个条件来证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 满足柯西收敛准则，从而证明其收敛。

证明:

令 $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$. 那么对于 $n>m$, 有

$$\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k=\sum _{k=m+1}^n(S_k-S_{k-1})b_k=\sum _{k=m+1}^n{S}_k{b}_k-\sum _{k=m+1}^n{S}_{k-1}{b}_k=\sum _{k=m+1}^n{S}_k{b}_k-\sum _{k=m}^{n-1}{S}_k{b}_{k+1}$$ $$=S_n{b}_n-S_m{b}_{m+1}+\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$$

因此,

$$\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k=S_n{b}_n-S_m{b}_{m+1}+\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$$

由于 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 故 $S_n$ 有界, 设 $|S_n|\le M$ 对所有 $n$ 成立. 又 $\{b_n\}$ 单调有界, 故 $b_n$ 收敛, 设 $b_n\to b$ 当 $n\to \infty$. 那么对任意 $ϵ>0$, 存在 $N$, 当 $n>m>N$ 时, $|S_n-S_m|<ϵ$.

对 ${\sum }_{k=m+1}^n{a}_k{b}_k$ 取绝对值, 有

$$|\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k|=|S_n{b}_n-S_m{b}_{m+1}+\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\le |S_n{b}_n|+|S_m{b}_{m+1}|+|\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|$$

由于 $S_n$ 有界，且 $b_n$ 收敛，所以 $S_n{b}_n$ 和 $S_m{b}_{m+1}$ 都趋于0，同时，由于 $\{b_n\}$ 单调，所以 $b_k-b_{k+1}$ 同号，

若 $\{b_n\}$ 单调递减, 则 $b_k-b_{k+1}\ge 0$, 于是

$$|\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\le M\sum _{k=m+1}^{n-1}(b_k-b_{k+1})=M(b_{m+1}-b_n)\le M{b}_{m+1}$$

若 $\{b_n\}$ 单调递增, 则 $b_k-b_{k+1}\le 0$, 于是

$$|\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\le M\sum _{k=m+1}^{n-1}|b_k-b_{k+1}|=M\sum _{k=m+1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=M(b_n-b_{m+1})\le M|b_{m+1}|$$

因为 $b_n$ 收敛, 所以当 $m$ 足够大时, $b_{m+1}$ 足够小, 从而可以控制 $|{\sum }_{k=m+1}^n{a}_k{b}_k|$ 足够小。

更简洁的证明方式是:

因为 $\{b_n\}$ 单调有界，所以存在极限 $b={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$. 那么 $b_n=(b_n-b)+b$. 于是 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n(b_n-b)+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{n}b$. 因为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 且 $b$ 是常数, 所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{n}b$ 收敛. 只需要证明 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n(b_n-b)$ 收敛.

现在, $b_n-b$ 构成单调收敛于 0 的数列. 设 $c_n=b_n-b$. 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{c}_n$ 满足 Dirichlet 判别法的条件, 故收敛。

例子:

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ 收敛 (条件收敛), $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减且趋于0, 所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n\sqrt{n}}$ 收敛.

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狄利克雷判别法

描述:

设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的部分和 $S_n$ 有界, $\{b_n\}$ 是单调递减趋于 0 的数列, 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛.

证明思路:

与 Abel 判别法类似，也是利用 Abel 变换和柯西收敛准则。

证明:

令 $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$. 因为 $S_n$ 有界, 存在 $M>0$, 使得 $|S_n|\le M$ 对所有 $n$ 成立.

对 $n>m$, 有

$$\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k=\sum _{k=m+1}^n(S_k-S_{k-1})b_k=\sum _{k=m+1}^n{S}_k{b}_k-\sum _{k=m+1}^n{S}_{k-1}{b}_k=\sum _{k=m+1}^n{S}_k{b}_k-\sum _{k=m}^{n-1}{S}_k{b}_{k+1}$$ $$=S_n{b}_n-S_m{b}_{m+1}+\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$$

因此,

$$\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k=S_n{b}_n-S_m{b}_{m+1}+\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$$

对 ${\sum }_{k=m+1}^n{a}_k{b}_k$ 取绝对值, 有

$$|\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k|=|S_n{b}_n-S_m{b}_{m+1}+\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\le |S_n{b}_n|+|S_m{b}_{m+1}|+|\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|$$

由于 $|S_n|\le M$, 故 $|S_n{b}_n|\le M|b_n|$. 因为 $b_n\to 0$, 所以当 $n\to \infty$ 时, $S_n{b}_n\to 0$.

由于 $\{b_n\}$ 单调递减, 所以 $b_k-b_{k+1}\ge 0$. 于是

$$|\sum _{k=m+1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\le \sum _{k=m+1}^{n-1}|S_k|(b_k-b_{k+1})\le M\sum _{k=m+1}^{n-1}(b_k-b_{k+1})=M(b_{m+1}-b_n)\le M{b}_{m+1}$$

因为 $b_n\to 0$, 所以当 $m$ 足够大时, $b_{m+1}$ 足够小, 从而可以控制 $|{\sum }_{k=m+1}^n{a}_k{b}_k|$ 足够小。

根据柯西收敛准则, ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛.

例子:

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n$ 的部分和是有界的 (值为 -1 或 0), $\frac{1}{n}$ 单调递减趋于0, 所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛.
• 更一般的, ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sin (nx)$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\cos (nx)$ 的部分和在 $x\ne 2k\pi$ 时有界, 因此可以用于判断一些三角级数的收敛性.

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总结:

• Abel 判别法要求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 而 Dirichlet 判别法只要求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的部分和有界.
• Abel 判别法要求 $\{b_n\}$ 单调有界, 而 Dirichlet 判别法要求 $\{b_n\}$ 单调递减趋于 0.
• Dirichlet 判别法是 Abel 判别法的一个推广. 因为如果 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 那么其部分和一定有界。如果 $\{b_n\}$ 单调递减趋于一个极限 $b$, 那么 $\{b_n-b\}$ 单调递减趋于0。所以可以将 $\sum a_n{b}_n$ 拆成 $\sum a_n(b_n-b)+b\sum a_n$, 然后分别应用 Dirichlet 判别法和 $\sum a_n$ 收敛的条件。