复习与思考题

数值分析：复习与思考题（含答案）

范围：第一章、第二章、第三章、第四章、第七章。

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第一章　数值计算的误差、稳定性与病态性

1. 什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？

答案：

数值分析是研究如何用计算机求解数学问题的近似数值解，并分析算法的误差、稳定性、收敛性与计算效率的一门学科。

它处在数学与计算机之间：数学提供模型、理论和误差分析工具；计算机提供高速有限精度运算平台；数值分析负责把实际问题经过建模、离散化和算法设计，转化为可由计算机可靠求解的问题。

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2. 何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

答案：

算法是为解决某类问题而规定的一组有限、明确、可执行的步骤。

评价数值算法通常看以下方面：

1. 正确性：是否求解了原问题或其合理近似。
2. 收敛性：当离散参数趋于极限或迭代次数增加时，结果是否趋近真解。
3. 稳定性：输入误差和计算中的舍入误差是否会被过度放大。
4. 精度：在给定计算量下能否得到足够准确的结果。
5. 效率：时间复杂度、存储量和每步计算量是否合理。
6. 适用性与鲁棒性：对初值、参数和数据扰动是否敏感，适用范围是否足够广。

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3. 列出科学计算中误差的三个来源，并说明截断误差与舍入误差的区别。

答案：

常见误差来源可概括为：

1. 模型或数据误差：实际问题建模、测量和观测数据本身带来的误差。
2. 截断误差：用有限过程代替无限过程或精确过程产生的误差，例如截断级数、有限差分逼近导数、数值求积等。
3. 舍入误差：计算机字长有限，只能存储有限位数字，对实数进行舍入或截断产生的误差。

区别如下：

• 截断误差来自数值方法本身的近似；通常可通过减小步长、提高公式阶数或增加迭代次数减小。
• 舍入误差来自有限精度运算；步长过小、运算次数过多或出现相近数相减时，舍入误差可能被放大。

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4. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

答案：

设 $x$ 为精确值，$x^{\ast }$ 为近似值。

• 绝对误差：$e=x^{\ast }-x$，其绝对值 $|e|=|x^{\ast }-x|$ 称为绝对误差的大小。
• 相对误差：当 $x\ne 0$ 时，$e_r=\frac{x^{\ast }-x}{x}$，其大小为 $|e_r|=\frac{|x^{\ast }-x|}{|x|}$。

若近似数写成规范形式

$$x^{\ast }=\pm 0.a_1{a}_2\cdots a_n\times 10^m,a_1\ne 0,$$

并且它从第一个非零数字起保留的前 $n$ 位能够可靠反映精确值，则称 $x^{\ast }$ 有 $n$ 位有效数字。

常用的充分判据是：若

$$\frac{|x-x^{\ast }|}{|x|}\le \frac{1}{2}\times 10^{1-n},$$

则 $x^{\ast }$ 至少有 $n$ 位有效数字。

因此，有效数字主要由相对误差衡量；绝对误差还与数值的数量级有关。

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5. 什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？

答案：

算法稳定性是指：在计算过程中，初始数据中的微小误差和计算中产生的舍入误差不会被算法无限制地放大，最终结果对这些微小扰动仍保持可控。

判断稳定性时，通常分析误差传播关系。若第 $k$ 步误差为 $e_k$，并能证明误差满足有界估计，例如

$$|e_k|\le C\underset{0\le j\le k}{\max }|{\delta }_j|,$$

其中常数 $C$ 不会随计算步数急剧增大，则算法可认为稳定。也可从向后稳定性、条件数与舍入误差传播等角度判断。

不稳定算法会把极小的舍入误差迅速放大，使结果严重偏离真值；即使公式在精确算术下成立，在实际计算机上也可能完全失效。

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6. 什么是问题的病态性？它是否受所用算法的影响？

答案：

若问题的输入数据发生微小变化，就会使问题的解发生很大变化，则称该问题是病态的；反之称为良态问题。

病态性是问题本身的性质，与采用何种数值算法无关。算法只能影响计算过程是否进一步放大误差：稳定算法不能消除问题本身的病态性，但可以避免额外的误差放大。

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7. 什么是迭代法？试利用 $x^3-a=0$ 构造计算 $\sqrt[3]{a}$ 的迭代公式。

答案：

迭代法是从一个初始近似值 $x_0$ 出发，按递推公式

$$x_{k+1}=\phi (x_k),k=0,1,2,\dots ,$$

逐步产生近似序列，并希望其收敛到方程根 $x^{\ast }$ 的方法。

对于 $x^3-a=0$，可采用牛顿法。令 $f(x)=x^3-a$，则

$$x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^3-a}{3x_k^2}=\frac{1}{3}\left(2x_k+\frac{a}{x_k^2}\right),x_k\ne 0.$$

当初值选择合适时，该迭代可收敛到 $\sqrt[3]{a}$。

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8. 直接利用以直代曲的原则构造方程 $x^2-a=0$ 的根 $x^{\ast }=\sqrt{a}$ 的迭代法。

答案：

令

$$f(x)=x^2-a.$$

在当前近似值 $x_k$ 处用切线代替曲线：

$$f(x)\approx f(x_k)+f^{\prime }(x_k)(x-x_k).$$

令右端为零，得到

$$x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^2-a}{2x_k}=\frac{1}{2}\left(x_k+\frac{a}{x_k}\right).$$

这就是计算 $\sqrt{a}$ 的牛顿迭代公式。

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9. 举例说明什么是松弛技术。

答案：

松弛技术是在原迭代格式 $x_{k+1}=\phi (x_k)$ 的基础上，引入松弛因子 $\omega$：

$$x_{k+1}=(1-\omega )x_k+\omega \phi (x_k).$$

• 当 $0<\omega <1$ 时称为欠松弛，常用于抑制振荡、改善收敛稳定性。
• 当 $\omega >1$ 时称为超松弛，在适当条件下可加快收敛。

例如求 $x=\cos x$ 时，可改用

$$x_{k+1}=(1-\omega )x_k+\omega \cos x_k.$$

选择合适的 $\omega$，可使迭代更稳定或更快。

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10. 考虑无穷级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$，它是发散的。在计算机上计算它的部分和，会得到什么结果？为什么？

答案：

理论上调和级数发散，其部分和会无限增大。但在有限精度计算机上，计算到某一阶段后，新的加数 $\frac{1}{n}$ 小到不足以改变当前部分和的机器表示值，于是会出现

$$\mathrm{fl}\left(S_n+\frac{1}{n+1}\right)=S_n.$$

此后计算结果看起来不再增加，停留在某个有限数值上。

原因是舍入误差和有限字长导致“小数吃大数”：加数相对于当前部分和过小，无法影响存储结果。这不代表级数收敛，只是计算机无法继续分辨增量。

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11. 判断下列命题的正确性。

（1）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。

答案：正确。 这正是病态问题的典型特征。

（2）高精度运算可以改善问题的病态性。

答案：错误。 高精度只能减小舍入误差，不能改变问题本身对数据扰动敏感的性质。

（3）无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值。

答案：错误。 稳定算法不能消除病态问题造成的数据误差放大；病态问题仍可能导致较大结果误差。

（4）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。

答案：错误。 还需保证方法的截断误差足够小、停止准则合理、实现无明显错误等。

（5）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。

答案：错误。 收敛性不等于在有限步内达到所需精度；初值、迭代次数、舍入误差和停止准则都会影响结果。

（6）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

答案：错误。 相近数相减时容易发生有效数字损失，但若两数精确，或误差结构特殊，也不一定造成有效数字损失。

（7）计算机上将 $1000$ 个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。

答案：错误。 浮点加法不满足结合律；不同加法顺序会产生不同舍入误差。通常从绝对值较小的数开始相加更有利于减小误差。

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第二章　插值法

1. 什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？

答案：

对于互异节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$，第 $i$ 个拉格朗日插值基函数定义为

$$l_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j},i=0,1,\dots ,n.$$

构造思想是：令 $l_i(x)$ 在所有 $j\ne i$ 的节点处为零，并通过分母归一化，使 $l_i(x_i)=1$。

重要性质：

$$l_i(x_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}$$

且 $l_i(x)$ 是 $n$ 次多项式，满足

$$\sum _{i=0}^n{l}_i(x)=1.$$

因此拉格朗日插值多项式为

$$L_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x).$$

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2. 什么是牛顿基函数？它与单项式基 $\{1,x,\dots ,x^n\}$ 有何不同？

答案：

给定节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$，牛顿基函数为

$${\omega }_0(x)=1,$$ $${\omega }_k(x)=\prod _{j=0}^{k-1}(x-x_j),k=1,2,\dots ,n.$$

与单项式基 $\{1,x,\dots ,x^n\}$ 相比：

1. 牛顿基函数依赖插值节点，单项式基不依赖节点。
2. 牛顿基函数具有三角结构：当 $i<k$ 时，${\omega }_k(x_i)=0$。
3. 增加新节点时，牛顿插值只需增加一个新项，不必重算已有部分。
4. 单项式基对应范德蒙德方程组，通常为稠密矩阵且可能病态；牛顿基对应三角型结构，计算更方便。

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3. 什么是函数的 $n$ 阶均差？它有何重要性质？

答案：

零阶均差定义为

$$f[x_i]=f(x_i).$$

递推定义为

$$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=\frac{f[x_1,\dots ,x_n]-f[x_0,\dots ,x_{n-1}]}{x_n-x_0}.$$

重要性质：

1. 对称性：均差与节点排列顺序无关。
2. 线性性：对常数 $\alpha ,\beta$，有

$$(\alpha f+\beta g)[x_0,\dots ,x_n]=\alpha f[x_0,\dots ,x_n]+\beta g[x_0,\dots ,x_n].$$

3. 与导数的关系：若 $f\in C^n[a,b]$，则存在 $\xi$ 位于节点所张区间内，使

$$f[x_0,\dots ,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}.$$

4. 重节点情形：

$$f[\underset{m+1\text{ 个}}{\underbrace{x_0,\dots ,x_0}}]=\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}.$$

5. 可通过均差表高效计算牛顿插值系数。

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4. 写出 $n+1$ 个节点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式。它们有何异同？

答案：

拉格朗日插值多项式：

$$L_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x),$$

其中

$$l_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

牛顿均差插值多项式：

$$N_n(x)=f[x_0]+\sum _{k=1}^{n}f[x_0,x_1,\dots ,x_k]\prod _{j=0}^{k-1}(x-x_j).$$

异同：

• 相同点：二者都满足插值条件 $P_n(x_i)=f(x_i)$；由插值多项式唯一性可知，它们代表同一个次数不超过 $n$ 的多项式。
• 不同点：拉格朗日形式对节点排列对称、表达直接；牛顿形式具有逐次生成的特点，增加节点时只需增加一个均差项，计算上更适合增量更新。

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5. 插值多项式的确定相当于求解线性方程组 $Ax=y$。用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵 $A$ 中非零元素的分布。

（1）单项式基底。

答案：

取基底 $1,x,\dots ,x^n$ 时，

$$A_{ij}=x_i^j,$$

得到范德蒙德矩阵。一般情况下矩阵为稠密矩阵，非零元素分布在整个矩阵中。

（2）拉格朗日基底。

答案：

取基底 $l_0(x),l_1(x),\dots ,l_n(x)$ 时，

$$A_{ij}=l_j(x_i)={\delta }_{ij}.$$

故 $A$ 是单位矩阵，只有对角线元素非零。

（3）牛顿基底。

答案：

取基底 ${\omega }_0(x),{\omega }_1(x),\dots ,{\omega }_n(x)$ 时，因 ${\omega }_j(x_i)=0$ 对 $i<j$ 成立，矩阵为下三角矩阵，主对角线元素非零。

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6. 用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序。

答案：

通常工作量由低到高为：

$$\text{拉格朗日基底}<\text{牛顿基底}<\text{单项式基底}.$$

理由：

• 拉格朗日基底下系数就是 $f(x_i)$，无需解方程组。
• 牛顿基底下得到下三角系统，可用均差表或前代方便求解。
• 单项式基底下需解一般范德蒙德线性方程组，计算量较大且数值稳定性较差。

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7. 给出插值多项式的余项表达式。如何用它估计截断误差？

答案：

若 $f\in C^{n+1}[a,b]$，则 $n$ 次插值多项式 $P_n(x)$ 的余项为

$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i),$$

其中 $\xi$ 位于包含 $x,x_0,\dots ,x_n$ 的区间内。

若

$$\underset{t\in [a,b]}{\max }|f^{(n+1)}(t)|\le M,$$

则

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\left|\prod _{i=0}^n(x-x_i)\right|.$$

这就是截断误差的常用估计式。

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8. 埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是在什么条件下的插值多项式？

答案：

一般插值只要求函数值满足

$$P(x_i)=f(x_i).$$

埃尔米特插值除要求函数值相等外，还要求若干阶导数相等，例如

$$P^{(r)}(x_i)=f^{(r)}(x_i),r=0,1,\dots ,m_i.$$

泰勒多项式为

$$T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$$

它是在同一个节点 $x_0$ 上满足

$$T_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0),k=0,1,\dots ,n,$$

的 $n$ 次埃尔米特插值多项式，也可理解为所有插值节点趋于 $x_0$ 时的牛顿插值极限形式。

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9. 为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？

答案：

高次多项式插值常不令人满意，主要因为：

1. 在等距节点下可能出现龙格现象，区间端点附近产生明显振荡。
2. 次数升高后，插值余项中的节点乘积可能增大，误差不一定随节点数增加而减小。
3. 高次插值对数据扰动和节点选择更敏感，数值稳定性较差。
4. 修改或增加一个数据点会影响整个插值多项式。

分段低次插值的优点：

1. 每段次数低，计算稳定，避免高次振荡。
2. 误差具有局部性，局部数据变化通常只影响邻近区间。
3. 增加节点或修改数据更方便。
4. 可通过拼接条件获得较高的整体光滑性，例如三次样条可达到 $C^2$ 连续。

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10. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。

答案：

二者都在每个小区间上使用三次多项式，但条件不同：

• 三次分段埃尔米特插值：通常给定节点函数值和一阶导数值，满足 $C^1$ 连续；一般不保证二阶导数连续。
• 三次样条插值：通常只给定节点函数值，通过内部节点处函数、一阶导数、二阶导数连续以及边界条件确定，满足 $C^2$ 连续。

不存在绝对“更优越”的方法：

• 当只知道函数值、希望得到整体平滑曲线时，三次样条通常更合适，因为它不要求预先给定导数且有 $C^2$ 光滑性。
• 当节点导数信息可靠且必须严格保持导数条件时，三次分段埃尔米特插值更合适。

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11. 确定 $n+1$ 个节点的三次样条插值函数要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？

答案：

$[x_0,x_n]$ 被分成 $n$ 个小区间，每个小区间上的三次多项式有 $4$ 个系数，因此共有

$$4n$$

个待定参数。

确定这些参数需要 $4n$ 个条件：

1. 每段两端满足插值条件，共 $2n$ 个条件；
2. 在 $n-1$ 个内部节点处一阶导数连续，共 $n-1$ 个条件；
3. 在 $n-1$ 个内部节点处二阶导数连续，共 $n-1$ 个条件；
4. 还差 $2$ 个边界条件，例如：
   • 自然边界：$S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)=0$；
   • 夹持边界：给定 $S^{\prime }(x_0)$ 与 $S^{\prime }(x_n)$；
   • 周期边界或非结点边界等。

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12. 判断下列命题是否正确。

（1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以有许多。

答案：正确。 若不限制插值函数所属的函数类，通过给定数据点的函数可以有无穷多个。

（2）如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。

答案：正确。 作为次数不超过 $n$ 的多项式，其系数和函数本身唯一；代数形式可以不同，但化简后表示同一多项式。

（3）$l_i(x)$ 是拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于 $n$ 的多项式 $P(x)$，都有 ${\sum }_{i=0}^n{l}_i(x)P(x_i)=P(x)$。

答案：正确。 右边是用节点值 $P(x_i)$ 构造的次数不超过 $n$ 的插值多项式，它与 $P(x)$ 在 $n+1$ 个互异节点处相等，由唯一性知二者相同。

（4）当 $f(x)$ 为连续函数，节点为等距节点，构造拉格朗日插值多项式 $L_n(x)$，则 $n$ 越大，$L_n(x)$ 越接近 $f(x)$。

答案：错误。 连续性不足以保证等距高次插值收敛，可能出现龙格现象。

（5）当 $f(x)$ 满足一定的连续可微条件时，构造三次样条插值函数 $S_n(x)$，则 $n$ 越大，$S_n(x)$ 越接近 $f(x)$。

答案：正确。 在节点加密、最大步长 $h\to 0$ 且函数具有足够光滑性时，三次样条插值误差趋于零。

（6）高次拉格朗日插值是很常用的。

答案：错误。 实际计算中通常避免直接使用高次等距拉格朗日插值，更常用分段低次插值、样条插值或牛顿形式。

（7）函数 $f(x)$ 的牛顿插值多项式 $P_n(x)$，如果 $f(x)$ 的各阶导数均存在，则当 $x_i\to x_0$ 时，$P_n(x)$ 就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的泰勒多项式。

答案：正确。 在节点趋于重合的极限下，均差趋于相应阶导数除以阶乘，牛顿插值多项式趋于泰勒多项式。

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第三章　函数逼近

1. 设 $f\in C[a,b]$，写出三种常用范数 $\Vert f{\Vert }_1,\Vert f{\Vert }_2,\Vert f{\Vert }_{\infty }$。

答案：

$$\Vert f{\Vert }_1={\int }_a^b|f(x)|dx,$$ $$\Vert f{\Vert }_2={\left({\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx\right)}^{1/2},$$ $$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)|.$$

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2. $f,g\in C[a,b]$，它们的内积是什么？如何判断函数族 $\{{\phi }_0,{\phi }_1,\dots ,{\phi }_n\}\subset C[a,b]$ 在 $[a,b]$ 上线性无关？

答案：

通常取内积为

$$(f,g)={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx.$$

若考虑复值函数，则应写为

$$(f,g)={\int }_a^{b}f(x)\overline{g(x)}dx.$$

函数族线性无关的定义是：若

$$\sum _{i=0}^n{c}_i{\phi }_i(x)\equiv 0$$

在 $[a,b]$ 上成立，则必有

$$c_0=c_1=\cdots =c_n=0.$$

也可通过格拉姆矩阵 $G=(({\phi }_i,{\phi }_j))$ 判断：若

$$\det (G)\ne 0,$$

则该函数族线性无关。

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3. 什么是函数 $f\in C[a,b]$ 在区间 $[a,b]$ 上的 $n$ 次最佳一致逼近多项式？

答案：

记 $H_n$ 为次数不超过 $n$ 的多项式空间。若 $P_n^{\ast }\in H_n$ 满足

$$\Vert f-P_n^{\ast }{\Vert }_{\infty }=\underset{P\in H_n}{\min }\Vert f-P{\Vert }_{\infty },$$

则称 $P_n^{\ast }$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 $n$ 次最佳一致逼近多项式。

它使最大绝对误差

$$\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-P(x)|$$

达到最小。

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4. 什么是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 $n$ 次最佳平方逼近多项式？什么是数据 $\{f_i{\}}_0^m$ 的最小二乘曲线拟合？

答案：

若 $P_n^{\ast }\in H_n$ 满足

$$\Vert f-P_n^{\ast }{\Vert }_2=\underset{P\in H_n}{\min }\Vert f-P{\Vert }_2,$$

即

$${\int }_a^b\rho (x)[f(x)-P_n^{\ast }(x){]}^{2}dx$$

最小，则称 $P_n^{\ast }$ 为最佳平方逼近多项式，其中 $\rho (x)$ 为权函数。

对离散数据 $(x_i,y_i)$，在给定函数空间 $\Phi$ 中寻找 $S^{\ast }$，使

$$\sum _{i=0}^m{\omega }_i[S(x_i)-y_i{]}^2$$

最小，称为最小二乘曲线拟合。其中 ${\omega }_i>0$ 为离散权。

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5. 什么是 $[a,b]$ 上带权 $\rho (x)$ 的正交多项式？什么是 $[-1,1]$ 上的勒让德多项式？它有什么重要性质？

答案：

若多项式族 $\{{\phi }_n\}$ 满足

$${\int }_a^b\rho (x){\phi }_i(x){\phi }_j(x)dx=0,i\ne j,$$

其中 $\rho (x)$ 是权函数，则称其为 $[a,b]$ 上带权 $\rho (x)$ 的正交多项式族。

勒让德多项式 $P_n(x)$ 是区间 $[-1,1]$ 上权函数 $\rho (x)=1$ 的正交多项式。其 Rodrigues 公式为

$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n.$$

重要性质：

1. 正交性：

$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=0,m\ne n.$$

2. 规范化：$P_n(1)=1$。
3. 范数：

$${\int }_{-1}^1{P}_n^2(x)dx=\frac{2}{2n+1}.$$

4. $P_n(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有 $n$ 个互异零点。
5. 三项递推：

$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x).$$

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6. 什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？

答案：

第一类切比雪夫多项式定义为

$$T_n(x)=\cos (n\arccos x),x\in [-1,1].$$

它是区间 $[-1,1]$ 上权函数

$$\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

对应的正交多项式。

重要性质：

1. $T_0(x)=1$，$T_1(x)=x$，且

$$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$$

2. 当 $n\ge 1$ 时，$T_n$ 的首项系数为 $2^{n-1}$。
3. 在 $[-1,1]$ 上有

$$|T_n(x)|\le 1.$$

4. 零点为

$$x_k=\cos \frac{(2k-1)\pi }{2n},k=1,2,\dots ,n.$$

5. 归一化后的切比雪夫多项式在首项系数固定的多项式中具有最小最大模性质，是最佳一致逼近理论的重要工具。

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7. 用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？

答案：

本质上仍然是拉格朗日插值：给定节点后，插值多项式仍可写成拉格朗日形式。

区别在于节点选择不同：切比雪夫插值使用切比雪夫多项式的零点，而一般拉格朗日插值的节点可以任意选取，常见情形是等距节点。

切比雪夫节点能使

$$\left|\prod _{i=0}^n(x-x_i)\right|$$

在 $[-1,1]$ 上尽可能小，从而减弱端点振荡、降低龙格现象风险，并通常具有更好的数值稳定性。

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8. 什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数 $n$ 较大时为什么不直接求解法方程？

答案：

设

$$S(x)=\sum _{j=0}^n{a}_j{\phi }_j(x),$$

目标是最小化

$$Q(a_0,\dots ,a_n)=\sum _{i=0}^m{\omega }_i{\left[S(x_i)-y_i\right]}^2.$$

令各偏导数为零，得到法方程：

$$\sum _{j=0}^n{a}_j\sum _{i=0}^m{\omega }_i{\phi }_j(x_i){\phi }_k(x_i)=\sum _{i=0}^m{\omega }_i{y}_i{\phi }_k(x_i),$$ $$k=0,1,\dots ,n.$$

当使用单项式作多项式拟合且 $n$ 较大时，法方程系数矩阵往往是高度病态的矩阵；法方程还会放大条件数，导致舍入误差被明显放大。因此通常采用离散正交多项式、正交化方法或 QR 分解，而不直接解法方程。

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9. 计算有理分式 $R_{mn}(x)$ 为什么要化为连分式？

答案：

有理逼近写成

$$R_{mn}(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}$$

时，直接求分子、分母系数往往涉及耦合关系，计算可能不稳定，也可能出现近似相消或参数不易逐次更新的问题。

将其化为连分式后，常可得到递推或逐层构造形式，优点是：

1. 便于逐项计算和逐步增加逼近阶数；
2. 可避免直接处理复杂的分子、分母耦合系数；
3. 有利于数值稳定地计算有理逼近；
4. 便于进行截断和自适应选择逼近阶数。

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10. 哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？

答案：

周期函数、近似周期函数或具有明显振荡结构的函数，更适合使用三角插值。例如定义在一个周期区间上的周期光滑函数。

三角多项式天然满足周期性，能较好地反映函数的频率成分；对这类函数，三角插值常比一般多项式插值更自然、更稳定。

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11. 对序列作 DFT 时，给定数据要有哪些性质？对 DFT 用 FFT 计算时数据长度有何要求？

答案：

DFT 本身可作用于任意长度为 $N$ 的复数序列 $\{y_j{\}}_{j=0}^{N-1}$。若把数据理解为某周期函数的采样值，通常要求：

1. 采样点等距分布；
2. 数据对应一个周期内的采样值；
3. 序列按周期延拓，即 $y_{j+N}=y_j$。

DFT 为

$${\hat{y}}_k=\sum _{j=0}^{N-1}{y}_j{e}^{-2\pi ijk/N},k=0,1,\dots ,N-1.$$

对于课堂中最常用的基 $2$ FFT，通常要求

$$N=2^p.$$

更一般的 FFT 还可以处理由小素因子分解的长度，但基 $2$ FFT 的标准要求是 $N$ 为 $2$ 的幂。

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12. 判断下列命题是否正确。

（1）任何 $f(x)\in C[a,b]$ 都能找到 $n$ 次多项式 $P_n(x)\in H_n$，使 $|f(x)-P_n(x)|\le \epsilon$。

答案：正确。 按魏尔斯特拉斯逼近定理，对任意 $\epsilon >0$，存在某个次数 $n$ 及多项式 $P_n$，使

$$\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-P_n(x)|<\epsilon .$$

这里的 $n$ 可以随 $\epsilon$ 改变。

（2）$P_n^{\ast }(x)$ 是最佳一致逼近多项式，则 ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n^{\ast }(x)=f(x)$ 对任意 $x\in [a,b]$ 成立。

答案：正确。 由魏尔斯特拉斯定理，最佳一致逼近误差趋于零，因此有一致收敛，进而逐点收敛。

（3）最佳平方逼近多项式 $P_n(x)$ 满足当 $n\to \infty$ 时 $P_n(x)\to f(x)$。

答案：错误。 最佳平方逼近一般只能保证 $\Vert P_n-f{\Vert }_2\to 0$，不必保证对每个点都收敛。

（4）首项系数为 $1$ 的勒让德多项式在所有首项系数为 $1$ 的 $n$ 次多项式中具有最小的平方范数。

答案：正确。 这是勒让德多项式的最小平方范数性质。

（5）首项系数为 $1$ 的切比雪夫多项式在所有首项系数为 $1$ 的 $n$ 次多项式中具有最小的最大模。

答案：正确。 这是切比雪夫多项式的极小偏差性质。

（6）函数的有理逼近总比多项式逼近好。

答案：错误。 有理逼近对极点、边界层等问题可能更有效，但并非对所有函数都优于多项式逼近。

（7）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

答案：正确。 在数据量大且含测量误差时，最小二乘拟合通常比要求逐点精确通过数据的插值更合理、更稳定。

（8）三角最小平方逼近与三角插值都要计算 $N$ 点 DFT，所以它们没有任何区别。

答案：错误。 两者虽然都可能使用 DFT，但目标不同：三角插值要求在节点处精确相等；三角最小平方逼近要求整体平方误差最小。

（9）只有点数 $N=2^p$ 的 DFT 才能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意义不大。

答案：错误。 基 $2$ FFT 要求 $N=2^p$，但还有多种一般 FFT；即使仅限 $2$ 的幂，FFT 也将复杂度从 $O(N^2)$ 降至 $O(N\log N)$，意义很大。

（10）FFT 算法计算 DFT 和它的逆变换效率相同。

答案：正确。 DFT 与逆 DFT 的结构相同，只是指数符号和归一化因子不同，计算复杂度均为 $O(N\log N)$。

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第四章　数值积分与数值微分

1. 给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。

答案：

对积分

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx,$$

梯形公式为

$$T=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)].$$

它用连接两端点 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的弦线下方的梯形面积近似曲边面积。

中矩形公式为

$$M=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right).$$

它用以中点函数值为高、以 $b-a$ 为底的矩形面积近似曲边面积。

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2. 什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？

答案：

若一个求积公式对所有次数不超过 $m$ 的多项式都精确成立，但对某个 $m+1$ 次多项式不精确成立，则称该公式具有 $m$ 次代数精确度。

梯形公式和中矩形公式均具有 1 次代数精确度：它们对常数函数和一次函数精确，对一般二次函数不精确。

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3. 对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。

答案：

设求积公式为

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{A}_{i}f(x_i).$$

给定节点后，常用两种方法为：

1. 积分拉格朗日基函数法：构造节点对应的拉格朗日基函数 $l_i(x)$，令

$$A_i={\int }_a^b{l}_i(x)dx.$$

2. 待定系数法或矩条件法：要求公式对 $1,x,\dots ,x^n$ 精确成立，即

$$\sum _{i=0}^n{A}_i{x}_i^k={\int }_a^b{x}^{k}dx,k=0,1,\dots ,n,$$

然后解出 $A_i$。

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4. 什么是牛顿—柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？

答案：

牛顿—柯特斯求积是指在等距节点上构造插值多项式，并将该插值多项式积分所得的求积公式。

闭型牛顿—柯特斯公式通常取

$$x_i=a+ih,h=\frac{b-a}{n},i=0,1,\dots ,n.$$

即节点在 $[a,b]$ 上等距分布，并包括两个端点。

其代数精确度至少为 $n$ 次；当 $n$ 为偶数时，代数精确度至少为 $n+1$ 次。常见情形：

• 梯形公式对应 $n=1$，代数精确度为 $1$；
• 辛普森公式对应 $n=2$，代数精确度为 $3$。

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5. 什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？

答案：

辛普森公式是在 $a$、中点 $m=\frac{a+b}{2}$、$b$ 三点上构造二次插值多项式并积分：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$$

若 $f\in C^4[a,b]$，其余项为

$$R_S=I-S=-\frac{(b-a{)}^5}{2880}{f}^{(4)}(\xi ),$$

其中 $\xi \in (a,b)$。

辛普森公式具有 3 次代数精确度。

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6. 什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。

答案：

复合求积法是把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上应用低次求积公式，再把结果相加的方法。

令

$$h=\frac{b-a}{n},x_i=a+ih,$$

复合梯形公式为

$$T_n=h\left[\frac{1}{2}f(a)+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)+\frac{1}{2}f(b)\right].$$

若 $f\in C^2[a,b]$，则

$$I-T_n=-\frac{b-a}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\xi ),$$

其中 $\xi \in (a,b)$。

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7. 给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？

答案：

将区间 $[a,b]$ 等分为 $2n$ 个小区间，令

$$h=\frac{b-a}{2n},x_i=a+ih.$$

复合辛普森公式为

$$S_{2n}=\frac{h}{3}\left[f(x_0)+f(x_{2n})+4\sum _{j=1}^{n}f(x_{2j-1})+2\sum _{j=1}^{n-1}f(x_{2j})\right].$$

若 $f\in C^4[a,b]$，则

$$I-S_{2n}=-\frac{b-a}{180}{h}^4{f}^{(4)}(\xi ).$$

若已知

$$\underset{x\in [a,b]}{\max }|f^{(4)}(x)|\le M_4,$$

则

$$|I-S_{2n}|\le \frac{b-a}{180}{h}^4{M}_4.$$

也可利用两次网格计算的差估计误差：若 $S_h$ 与 $S_{h/2}$ 分别是步长 $h$ 和 $h/2$ 的结果，则细网格结果的误差可近似为

$$|I-S_{h/2}|\approx \frac{|S_{h/2}-S_h|}{15}.$$

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8. 什么是龙贝格求积？它有什么优点？

答案：

龙贝格求积是在复合梯形公式基础上，利用理查森外推逐级消去误差展开中的低阶项，以提高精度的方法。

令

$$R_{k,0}=T_{2^k},$$

并递推

$$R_{k,j}=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^j-1},j=1,2,\dots ,k.$$

优点：

1. 可重复利用已有的函数值；
2. 能系统地提高复合梯形公式的精度；
3. 不需要显式求高阶导数；
4. 可用相邻外推结果之差估计误差；
5. 对充分光滑的函数通常效率较高。

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9. 什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称它是具有最高代数精确度的求积公式？

答案：

对于带权积分

$${\int }_a^b\rho (x)f(x)dx,$$

若存在节点 $x_i$ 和系数 $A_i$，使

$${\int }_a^b\rho (x)f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{A}_{i}f(x_i)$$

具有 $2n+1$ 次代数精确度，则称其为高斯型求积公式。

节点 $x_i$ 取为区间 $[a,b]$ 上权函数 $\rho (x)$ 对应的 $n+1$ 次正交多项式的零点；系数可由

$$A_i={\int }_a^b\rho (x)l_i(x)dx$$

计算。

$n+1$ 个节点的高斯型求积公式具有 $2n+1$ 次代数精确度。任意 $n+1$ 个节点的机械求积公式，代数精确度最高不超过 $2n+1$，因此高斯公式被称为在同节点数下具有最高代数精确度的求积公式。

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10. 牛顿—柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方法哪个更精确？为什么？

答案：

牛顿—柯特斯求积的节点通常等距分布，闭型公式还包含积分区间端点；高斯求积节点则是相应正交多项式的零点，通常非等距且位于区间内部。

在同样节点数下，对于足够光滑的函数，高斯求积通常更精确，因为其代数精确度为 $2n+1$，而 $n+1$ 个节点的牛顿—柯特斯公式通常只达到 $n$ 次或 $n+1$ 次代数精确度。

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11. 描述自适应求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？

答案：

自适应求积的一般步骤：

1. 在当前区间 $[a,b]$ 上用某个求积公式计算粗略值 $Q$；
2. 将区间二分，在两个子区间上计算较细结果 $Q_1+Q_2$；
3. 比较 $Q$ 与 $Q_1+Q_2$；
4. 若估计误差小于给定容许误差，则接受细网格结果；否则继续对子区间递归分割；
5. 将各个已接受小区间的结果相加。

若公式误差主项为 $C{h}^p$，则二分网格后误差变为约 $C{h}^p/2^p$。因此可用

$$E\approx \frac{|(Q_1+Q_2)-Q|}{2^p-1}$$

估计细网格结果的误差。

例如复合辛普森公式 $p=4$，故误差估计常为

$$E\approx \frac{|S_{h/2}-S_h|}{15}.$$

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12. 怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分？

答案：

对矩形域 $[a,b]\times [c,d]$，可使用张量积求积公式：

$${\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx\approx \sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{A}_i{B}_{j}f(x_i,y_j),$$

其中 $\{x_i,A_i\}$ 是 $[a,b]$ 上的一维求积节点和权系数，$\{y_j,B_j\}$ 是 $[c,d]$ 上的一维求积节点和权系数。

即先对一个变量作数值积分，再对另一个变量作数值积分；最终权系数为一维权系数的乘积 $A_i{B}_j$。

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13. 对给定函数，给出两种近似求导的方法。若给定函数值有扰动，在你的方法中怎样处理这个问题？

答案：

常用近似求导方法包括：

1. 前向差分公式：

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

截断误差为 $O(h)$。

2. 中心差分公式：

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},$$

截断误差为 $O(h^2)$。

也可先构造插值多项式、最小二乘拟合曲线或样条函数，再对近似函数求导。

若函数值含扰动，差分会放大噪声，因为噪声项大致被除以 $h$。因此不应盲目取很小的 $h$，应：

1. 在截断误差与噪声放大之间选择适当步长；
2. 对带噪数据先进行平滑、最小二乘拟合或样条拟合，再求导；
3. 尽量使用中心差分或更高阶、抗噪的局部拟合方法。

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14. 判断下列命题是否正确。

（1）如果被积函数在区间 $[a,b]$ 上连续，则它的黎曼积分一定存在。

答案：正确。 连续函数在闭区间上一定黎曼可积。

（2）数值求积公式计算总是稳定的。

答案：错误。 高阶牛顿—柯特斯公式可能出现负权系数，稳定性不能总得到保证。

（3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。

答案：错误。 代数精确度衡量公式对多项式的精确程度，稳定性衡量误差传播；二者不是同一概念。

（4）$n+1$ 个点的插值型求积公式的代数精确度至少是 $n$ 次，最多可达到 $2n+1$ 次。

答案：正确。 插值型公式至少对次数不超过 $n$ 的多项式精确；同节点数机械求积的最高代数精确度为 $2n+1$。

（5）高斯求积公式只能计算区间 $[-1,1]$ 上的积分。

答案：错误。 一般区间可通过线性变量替换映射到 $[-1,1]$，也可直接构造相应区间和权函数下的高斯公式。

（6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。

答案：错误。 求积公式的代数精确度可能高于插值多项式次数，例如辛普森公式基于二次插值，却有 $3$ 次代数精确度。

（7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。

答案：错误。 梯形公式只有 $1$ 次代数精确度；两点高斯公式有 $3$ 次代数精确度。

（8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。

答案：正确。 在通常正权函数的高斯求积框架下，权系数为正，且绝对权系数和有界，因此公式稳定。

（9）由于龙贝格求积节点与牛顿—柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。

答案：错误。 龙贝格方法通过理查森外推消去低阶误差项，虽然可复用复合梯形节点，但精度明显高于单纯牛顿—柯特斯公式。

（10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。

答案：错误。 不同阶正交多项式的零点可能有公共点。例如奇数阶勒让德多项式都以 $0$ 为一个零点。

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第七章　非线性方程与方程组的数值解法

1. 什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？

答案：

若区间 $[a,b]$ 内至少存在一点 $x^{\ast }$ 使

$$f(x^{\ast })=0,$$

则称 $[a,b]$ 为方程 $f(x)=0$ 的有根区间。

有根区间为求根算法提供搜索范围。若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且

$$f(a)f(b)<0,$$

则由介值定理可知 $[a,b]$ 至少含有一个根。二分法正是以这种有根区间为基础。

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2. 什么是二分法？用二分法求 $f(x)=0$ 的根，$f$ 要满足什么条件？

答案：

二分法从有根区间 $[a,b]$ 出发，取中点

$$c=\frac{a+b}{2},$$

根据 $f(a)f(c)$ 的符号判断根所在的半区间，然后重复二分，直到区间长度或函数值满足精度要求。

通常要求：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上连续；
2. $f(a)f(b)<0$，或端点本身是根。

在这些条件下，二分法至少能求得一个单实根或奇重实根附近的根，并且区间长度每步减半，因此总是收敛。

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3. 什么是函数 $\phi (x)$ 的不动点？如何确定 $\phi (x)$，使它的不动点等价于 $f(x)$ 的零点？

答案：

若

$$x^{\ast }=\phi (x^{\ast }),$$

则称 $x^{\ast }$ 是 $\phi (x)$ 的不动点。

要使不动点等价于方程 $f(x)=0$ 的根，可将方程等价改写为

$$x=\phi (x).$$

例如可取

$$\phi (x)=x-\lambda f(x),$$

其中 $\lambda \ne 0$。此时

$$x=\phi (x)⟺\lambda f(x)=0⟺f(x)=0.$$

构造时要保证变形没有增根、失根，并尽量使 $\phi$ 具有收敛性。

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4. 什么是不动点迭代法？$\phi (x)$ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 $\phi (x)$ 的不动点？

答案：

不动点迭代法是按

$$x_{k+1}=\phi (x_k),k=0,1,2,\dots$$

生成近似序列，以求函数 $\phi$ 的不动点。

一个常用的全局收敛充分条件是：在闭区间 $[a,b]$ 上，

$$\phi ([a,b])\subseteq [a,b],$$

且存在常数 $L<1$，使

$$|{\phi }^{\prime }(x)|\le L<1,x\in [a,b].$$

则 $\phi$ 在 $[a,b]$ 内有唯一不动点 $x^{\ast }$，且任意初值 $x_0\in [a,b]$ 所生成的迭代序列都收敛到 $x^{\ast }$。

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5. 什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 $x_{k+1}=\phi (x_k)$ 的收敛阶？

答案：

设 $x_k\to x^{\ast }$，误差为

$$e_k=x_k-x^{\ast }.$$

若存在 $p\ge 1$ 和 $0<C<\infty$，使

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{|e_{k+1}|}{|e_k{|}^p}=C,$$

则称迭代法具有 $p$ 阶收敛性，$C$ 为渐近误差常数。

• $p=1$：线性收敛；
• $p>1$：超线性收敛；
• $p=2$：二阶收敛。

一般而言，$p$ 越大、$C$ 越小，收敛越快。

对于不动点迭代，若 $\phi$ 在 $x^{\ast }$ 邻域内足够光滑，且

$${\phi }^{\prime }(x^{\ast })={\phi }^{\prime \prime }(x^{\ast })=\cdots ={\phi }^{(r-1)}(x^{\ast })=0,$$

而

$${\phi }^{(r)}(x^{\ast })\ne 0,$$

则迭代通常为 $r$ 阶收敛。特别地：

• 若 ${\phi }^{\prime }(x^{\ast })\ne 0$，通常为一阶收敛；
• 若 ${\phi }^{\prime }(x^{\ast })=0$ 且 ${\phi }^{\prime \prime }(x^{\ast })\ne 0$，通常为二阶收敛。

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6. 什么是解 $f(x)=0$ 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 $f(x^{\ast })=0$，$x^{\ast }$ 是单根，$f$ 光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

答案：

牛顿法在当前点 $x_k$ 处用切线近似函数 $f$，迭代公式为

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}.$$

牛顿法不保证总是收敛。它对初值较敏感，迭代可能发散、振荡或进入导数接近零的区域。

若 $f(x^{\ast })=0$、$f^{\prime }(x^{\ast })\ne 0$，且 $f$ 在 $x^{\ast }$ 邻域内足够光滑，令

$$e_k=x_k-x^{\ast }.$$

由泰勒展开：

$$f(x_k)=f^{\prime }(x^{\ast })e_k+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x^{\ast })e_k^2+O(e_k^3),$$ $$f^{\prime }(x_k)=f^{\prime }(x^{\ast })+f^{\prime \prime }(x^{\ast })e_k+O(e_k^2).$$

代入牛顿公式可得

$$e_{k+1}=\frac{f^{\prime \prime }(x^{\ast })}{2f^{\prime }(x^{\ast })}{e}_k^2+O(e_k^3).$$

因此

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{|e_{k+1}|}{|e_k{|}^2}=\left|\frac{f^{\prime \prime }(x^{\ast })}{2f^{\prime }(x^{\ast })}\right|,$$

故牛顿法在单根附近是局部二阶收敛的。

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7. 什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

答案：

弦截法用差商近似导数，迭代公式为

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})},$$

它需要两个初始值 $x_0,x_1$。

与牛顿法比较：

1. 收敛阶：牛顿法对单根局部二阶收敛；弦截法的收敛阶为

$$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618,$$

属于超线性收敛。

2. 每步计算量：牛顿法通常每步要计算 $f(x_k)$ 与 $f^{\prime }(x_k)$；弦截法每步通常只需新增计算一个函数值，不需导数。

3. 适用性：导数难求或导数计算代价高时，弦截法往往更经济；若导数易求且初值足够好，牛顿法通常收敛更快。

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8. 什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点时是否优于牛顿法？

答案：

抛物线法使用最近三个迭代点

$$x_k,x_{k-1},x_{k-2}$$

及其函数值构造二次插值多项式 $p_2(x)$，再取 $p_2(x)=0$ 的、靠近 $x_k$ 的根作为新迭代值 $x_{k+1}$。

其收敛阶约为

$$p\approx 1.840,$$

其中 $p$ 满足

$$p^3-p^2-p-1=0.$$

抛物线法不需要计算导数，并且可自然产生复数迭代值，因此在求多项式全部零点、特别是包含复根时有一定优势。

但它并非在所有情形下都绝对优于牛顿法：牛顿法对单根的局部收敛阶为 $2$，且对于多项式可较高效地计算导数。实际选择应比较初值质量、是否需要复根、导数计算代价和数值稳定性。

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9. 什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。

答案：

若

$$f(x)=(x-x^{\ast }{)}^{m}g(x),m\ge 2,g(x^{\ast })\ne 0,$$

则称 $x^{\ast }$ 为 $f(x)=0$ 的 $m$ 重根。

对 $m$ 重根直接使用普通牛顿法时，收敛阶由二阶下降为线性，且

$${\phi }^{\prime }(x^{\ast })=1-\frac{1}{m}.$$

若已知重数 $m$，可使用改进牛顿法：

$$x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}.$$

它在适当条件下恢复二阶收敛。

若重数未知，可令

$$\mu (x)=\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)},$$

然后对 $\mu (x)=0$ 使用牛顿法，得到

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)f^{\prime }(x_k)}{[f^{\prime }(x_k){]}^2-f(x_k)f^{\prime \prime }(x_k)}.$$

该方法在适当光滑条件下也具有二阶收敛性。

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10. 什么是求解 $n$ 维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数？

答案：

设非线性方程组为

$$F(x)=0,$$

其中

$$F(x)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_n(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right).$$

记雅可比矩阵为

$$J_F(x)={\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{n\times n}.$$

牛顿法为：先解线性方程组

$$J_F(x_k)s_k=-F(x_k),$$

再令

$$x_{k+1}=x_k+s_k.$$

等价地，若 $J_F(x_k)$ 可逆，

$$x_{k+1}=x_k-J_F(x_k{)}^{-1}F(x_k).$$

每一步需要计算：

• $n$ 个函数值；
• $n^2$ 个偏导数值。

若把计算一个偏导数与计算一个标量函数值视为同等代价，则每步约需调用

$$n^2+n=n(n+1)$$

次标量函数计算，此外还要解一个 $n\times n$ 线性方程组。

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11. 判断下列命题是否正确。

（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一。

答案：正确。 非线性方程可能有多个实根、复根，甚至无穷多个解；非线性方程组也可能有多个解。

（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例。

答案：正确。 牛顿法可写成

$$x_{k+1}=\phi (x_k),\phi (x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}.$$

（3）不动点迭代法总是线性收敛的。

答案：错误。 它可能发散，也可能具有二阶或更高阶收敛，例如当 ${\phi }^{\prime }(x^{\ast })=0$ 时可达到至少二阶收敛。

（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法。

答案：错误。 存在三阶及更高阶方法，例如 Halley 法以及多点高阶迭代法。

（5）牛顿法总比弦截法及抛物线法更节省计算时间。

答案：错误。 牛顿法收敛阶高，但需计算导数；当导数计算代价大或难以获得时，弦截法、抛物线法可能更经济。

（6）求多项式 $p(x)$ 的零点问题一定是病态的问题。

答案：错误。 多项式根问题是否病态取决于根的重数、分离程度和系数扰动等；简单且彼此分离的根可以是良态的。

（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解。

答案：错误。 牛顿法可以自然推广到方程组；二分法依赖一维区间的顺序和变号条件，不能直接自然推广为一般多维方程组算法。

（8）牛顿法有可能不收敛。

答案：正确。 初值不合适、导数接近零、函数形状复杂等都可能使牛顿迭代发散或陷入循环。

（9）若 $|{\phi }^{\prime }(x^{\ast })|<1$，则对任意初值 $x_0$ 迭代都收敛。

答案：错误。 条件 $|{\phi }^{\prime }(x^{\ast })|<1$ 只能保证局部收敛，即初值足够接近 $x^{\ast }$ 时收敛。若要保证区间内任意初值收敛，还需满足 $\phi ([a,b])\subseteq [a,b]$ 且 ${\max }_{x\in [a,b]}|{\phi }^{\prime }(x)|<1$。

（10）弦截法也是不动点迭代的特例。

答案：正确。 弦截法不是通常的一维单步不动点迭代，但把状态扩展为 $(x_k,x_{k-1})$ 后，可写成二维不动点迭代。

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复习提示

• 简答题重点记忆：定义、公式、条件、优缺点、误差阶或收敛阶。
• 判断题重点区分：稳定性 与 精度、局部收敛 与 全局收敛、存在性 与 唯一性、连续性 与 可导性。