这门课的主线可以概括为：

把“难以直接精确求解”的数学问题，转化为可计算的近似问题；再分析误差、收敛性、稳定性与效率。

课程强调的不只是“会套公式”，还包括：为什么能用、误差多大、会不会收敛、计算是否稳定。

从你上传的考试范围看，期末以判断、填空、简答以及计算/证明题为主，计算与证明部分占比最高。因此复习优先级应是：

公式与计算流程
误差、收敛性、稳定性等简答理论
定理条件与结论
概念性判断题

一、全课程知识框架

1. 误差分析与数值稳定性

必须掌握的概念

设 $x$ 为精确值， $x^{*}$ 为近似值。

e^{*} = x^{*} - x

称为绝对误差。

e_{r}^{*} = \frac{x ^{*} - x}{x}

称为相对误差。实际计算中常用近似相对误差：

e_{r}^{*} \approx \frac{x ^{*} - x}{x ^{*}}

误差来源主要有：

模型误差；
观测误差；
截断误差；
舍入误差。

本课程通常重点分析截断误差和舍入误差。

有效数字

若近似值误差限不超过其某一位半个单位，则从左边第一个非零数字起，到该位为止的数字称为有效数字。

判断有效数字时，常用相对误差限：

∣ e_{r}^{*} ∣ \leq \frac{1}{2} \times 1 0^{1 - n}

则近似值至少有 $n$ 位有效数字。

病态问题与稳定算法

要严格区分：

病态性：问题本身对输入误差敏感；
稳定性：算法在计算过程中是否会放大误差。

病态是问题固有属性，稳定性是算法属性。

若输入数据只有微小扰动，却导致输出结果发生巨大变化，则问题病态。条件数越大，问题通常越敏感。

高频判断点

“提高计算精度一定能改善病态性”——错。病态性是问题本身的性质。
“收敛算法一定能得到高精度结果”——错。还受舍入误差、初值、停止准则等影响。
“两个相近数相减会导致有效数字损失”——对。
“求和顺序不影响结果”——错。浮点运算下，从小到大累加通常误差更小。

常用计算技巧

避免两个相近数相减；
避免大数吃小数；
求和时尽量从小到大；
多项式计算用 Horner（秦九韶）算法：

p (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}

改写为：

p (x) = a_{0} + x (a_{1} + x (a_{2} + \dots + x a_{n}) \dots)

这样运算次数少、误差积累也更少。

二、函数插值

1. 插值的核心思想

已知节点：

(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})

构造简单函数 $p (x)$ ，满足：

p (x_{i}) = y_{i}, i = 0, 1, \dots, n

这叫插值。节点必须互异。

插值、拟合、逼近的区别

类型	数据特点	要求
插值	数据通常视为准确	必须经过每个数据点
曲线拟合	数据含测量误差	不要求经过每个点
最佳逼近	已知函数表达式	在某种范数下误差最小

2. Lagrange 插值

公式

L_{n} (x) = i = 0 \sum n y_{i} l_{i} (x)

其中

l_{i} (x) = j = 0 j \neq = i \prod n \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}

关键性质：

l_{i} (x_{j}) = {1, 0, i = j i \neq = j

所以 $L_{n} (x_{i}) = y_{i}$ 。

余项公式

若 $f \in C^{n + 1} [a, b]$ ，则

R_{n} (x) = f (x) - L_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} i = 0 \prod n (x - x_{i})

其中 $ξ$ 位于节点与 $x$ 所构成的区间内。

常见题型

根据 $2$ 或 $3$ 个节点写插值多项式；
求某点近似值；
写余项并估计误差；
说明插值多项式存在唯一。

3. Newton 插值与差商

差商

一阶差商：

f [x_{i}, x_{j}] = \frac{f ( x _{j} ) - f ( x _{i} )}{x _{j} - x _{i}}

二阶差商：

f [x_{0}, x_{1}, x_{2}] = \frac{f [ x _{1} , x _{2} ] - f [ x _{0} , x _{1} ]}{x _{2} - x _{0}}

递推形式：

f [x_{0}, \dots, x_{n}] = \frac{f [ x _{1} , \dots , x _{n} ] - f [ x _{0} , \dots , x _{n - 1} ]}{x _{n} - x _{0}}

Newton 插值公式

N_{n} (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + \dots + f [x_{0}, \dots, x_{n}] k = 0 \prod n - 1 (x - x_{k})

Newton 与 Lagrange 的比较

两者得到的是同一个唯一插值多项式：

N_{n} (x) \equiv L_{n} (x)

区别是：

Lagrange：公式直观；
Newton：便于增加节点、便于递推计算。

差商和导数的关系

f [x_{0}, ..., x_{n}] = \frac{f ^{(n)} ( ξ )}{n !}

差商和差分的关系

f [x_{k}, ..., x_{k + m}] = \frac{1}{m !} \frac{Δ ^{m} f _{k}}{h ^{m}}

4. Hermite 插值

当题目除给出函数值外，还给出导数值时，优先考虑 Hermite 插值。

例如：

p (x_{i}) = f (x_{i}), p^{'} (x_{i}) = f^{'} (x_{i})

重节点差商

f [x_{0}, x_{0}] = f^{'} (x_{0})

f [x_{0}, x_{0}, x_{0}] = \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !}

一般地：

f [n + 1 x_{0}, \dots, x_{0}] = \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !}

Taylor插值

在同一个点上的 $n$ 次Hermite插值。

N_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + ... + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

两点三次 Hermite 插值

给定：

f (x_{0}), f^{'} (x_{0}), f (x_{1}), f^{'} (x_{1})

共有四个条件，因此构造次数不超过 $3$ 的多项式。

考试中通常要求：

写出重节点差商表；
套 Newton-Hermite 公式；
写余项。

5. 分段低次插值

高次等距插值可能出现 Runge 现象：节点越多，端点附近振荡反而可能越严重。课程中因此强调“次数并不是越高越好”。

分段线性插值

在区间 $[x_{k}, x_{k + 1}]$ 上：

I_{h} (x) = y_{k} \frac{x _{k + 1} - x}{x _{k + 1} - x _{k}} + y_{k + 1} \frac{x - x _{k}}{x _{k + 1} - x _{k}}

优点：简单；缺点：节点处一般不可导。

R (x) \leq \frac{M _{2}}{2 !} (\frac{h}{2})^{2} = \frac{M _{2} h ^{2}}{8}

分段三次 Hermite 插值

每个小区间使用三次多项式，并满足端点的函数值与导数值。

特点：

比分段线性更光滑；
能保证一阶导数连续；
适合已知节点导数的情形。

R (x) \leq \frac{M _{4}}{4 !} (\frac{2 h}{4})^{4} = \frac{M _{4}}{4 !} (\frac{h}{2})^{4} = \frac{M _{4} h ^{4}}{384}

三、函数逼近与最小二乘拟合

1. 范数、内积与内积空间

线性空间 (\mathbb{R}^n) 上常见的范数有

1-范数：
[
|x|1 = \sum{i=1}^n |x_i| = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n|
]
2-范数：
[
|x|2 = \left( \sum{i=1}^n x_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}
]
(p)-范数：
[
|x|p = \left( \sum{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}, \quad p \ge 1
]
(\infty)-范数（有时也称最大范数）：
[
|x|\infty = \max{1 \le i \le n} |x_i|
]

赋范线性空间 (C[a, b]) 上的常见范数有

1-范数：
[
|f|_1 = \int_a^b |f(x)| , dx
]
2-范数：
[
|f|_2 = \left( \int_a^b |f(x)|^2 , dx \right)^{\frac{1}{2}}
]
(p)-范数：
[
|f|_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p , dx \right)^{\frac{1}{p}}, \quad p \ge 1
]
(\infty)-范数：
[
|f|\infty = \max{a \le x \le b} |f(x)|
]

注意：是加了绝对值的。

内积与内积空间

内积：对称性、线性性、正定性

定理：设 (X) 是内积空间，向量组 (u_1, u_2, \dots, u_n \in X)。

G = (u_{1}, u_{1}) (u_{1}, u_{2}) ⋮ (u_{1}, u_{n}) (u_{2}, u_{1}) (u_{2}, u_{2}) ⋮ (u_{2}, u_{n}) \dots \dots ⋱ \dots (u_{n}, u_{1}) (u_{n}, u_{2}) ⋮ (u_{n}, u_{n})

Gram 矩阵 (G) 非奇异（行列式不为零，满秩）当且仅当 向量组 (u_1, u_2, …, u_n) 线性无关。

内积导出范数与加权内积

内积导出范数：
设 (X) 是一个内积空间。对于任意向量 (u \in X)，我们定义其范数为：
[
|u| := \sqrt{(u, u)}
]

加权内积：
设向量 (x, y \in \mathbb{R}^n)，给定一组正实数 (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n)，定义：
[
(x, y)\omega = \sum{i=1}^{n} \omega_i x_i y_i = \omega_1 x_1 y_1 + \omega_2 x_2 y_2 + \cdots + \omega_n x_n y_n
]
该式称为 (\mathbb{R}^n) 空间上的加权内积，其中 (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n) 称为加权系数。

1. 带权内积

我们定义 (f) 和 (g) 的带权内积为：
[
(f, g)_\rho = \int_a^b \rho(x) f(x) g(x) , dx
]

2. 导出范数

由上述带权内积导出的范数定义为：
[
|f|_\rho = \left( \int_a^b \rho(x) f^2(x) , dx \right)^{\frac{1}{2}}
]

3. 性质：Gram 矩阵与线性相关性

定理：设 (\varphi_0, \varphi_1, \dots, \varphi_n \in C[a, b])，则函数族 (\varphi_0, \varphi_1, \dots, \varphi_n) 在 (C[a, b]) 上线性无关 当且仅当 (\det(G) \neq 0)。

其中，(G) 是这些函数的 Gram 矩阵，即：
[
G = G(\varphi_0, \varphi_1, \dots, \varphi_n) = \begin{bmatrix}
(\varphi_0, \varphi_0)\rho & (\varphi_1, \varphi_0)\rho & \cdots & (\varphi_n, \varphi_0)\rho \
(\varphi_0, \varphi_1)\rho & (\varphi_1, \varphi_1)\rho & \cdots & (\varphi_n, \varphi_1)\rho \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
(\varphi_0, \varphi_n)\rho & (\varphi_1, \varphi_n)\rho & \cdots & (\varphi_n, \varphi_n)\rho
\end{bmatrix}
]
*(注：矩阵中的内积 ((\cdot, \cdot)) 即为上方定义的带权内积 ((\cdot, \cdot)\rho))*

2. 最佳平方逼近

最佳逼近

定义：
记 (\Phi) 为某个函数空间，给定目标函数 (f \in C[a, b])。若存在函数 (g^* \in \Phi)，使得
[
| f - g^* | = \min_{g \in \Phi} | f - g |
]
即 (g^*) 与 (f) 的距离（误差的范数）在 (\Phi) 中达到最小。

则称 (g^*) 为 (f) 在空间 (\Phi) 上的区间 ([a, b]) 上的最佳逼近函数。

最佳逼近多项式

定义：

给定目标函数 (f \in C[a, b])（连续函数空间），若存在多项式 (p^* \in \mathcal{P}n)，使得：
[
| f - p^* | = \min{p \in \mathcal{P}_n} | f - p |
]
即多项式 (p^*) 与目标函数 (f) 之间的误差（由范数定义的“距离”）在 (\mathcal{P}_n) 中达到最小。

则称 (p^*) 为 (f) 在区间 ([a, b]) 上的 (n) 次最佳逼近多项式。

取不同的范数，可以定义不同的最佳逼近。

最佳平方逼近

在函数空间

Φ = span {φ_{0}, φ_{1}, \dots, φ_{n}}

中寻找 $S^{*}$ ，使

∥ f - S^{*} ∥_{2}^{2} = S \in Φ min ∥ f - S ∥_{2}^{2}

其中

∥ f - S ∥_{2}^{2} = \int_{a}^{b} ρ (x) [f (x) - S (x)]^{2} d x

这就是最佳平方逼近。

法方程

令 $S (x) = \sum_{j = 0}^{n} a_{j} φ_{j} (x)$

则最优条件为：

(f - S, φ_{i})_{ρ} = 0, i = 0, 1, \dots, n

这是最重要的结论：

最佳平方逼近误差与逼近空间正交。

写成方程组，得到法方程：

j = 0 \sum n a_{j} (φ_{j}, φ_{i})_{ρ} = (f, φ_{i})_{ρ}

矩阵形式：

G a = d

挑选不同的基底会有不同的G。什么基底对应的G性质较好（条件数小）呢？正交的。

正交的时候误差如下

∥ δ ∥_{2}^{2} = ∥ f ∥_{2}^{2} - k = 0 \sum n \frac{( φ _{k} , f ) _{ρ}^{2}}{( φ _{k} , φ _{k} ) _{ρ}}

正交基底不会比非正交基底获得更小的“理论上限”误差（最佳平方逼近的极限是同等的）。
但是，正交基底保证了我们能够稳定、快速、精确地算出那个理论上的最小误差。

3. 正交多项式

带权内积：

(f, g)_{ρ} = \int_{a}^{b} ρ (x) f (x) g (x) d x

若

(φ_{i}, φ_{j})_{ρ} = 0, i \neq = j

则称 ${φ_{i}}$ 为带权正交函数族。

若基函数正交，则**最佳平方逼近系数**可直接写成：

a_{k} = \frac{( f , φ _{k} ) _{ρ}}{( φ _{k} , φ _{k} ) _{ρ}}

这是正交多项式最重要的计算优势：避免解法方程组。

常见正交多项式

Legendre：区间 $[- 1, 1]$ ，权函数 $ρ (x) = 1$ ；
Chebyshev：区间 $[- 1, 1]$ ，权函数 $ρ (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$

Chebyshev 节点可减轻高次插值端点振荡。

**首1的三项递推公式**

φ_{n + 1} (x) 其中 a_{n} 初始条件 φ_{- 1} = (x - a_{n}) φ_{n} (x) - β_{n} φ_{n - 1} (x), n = 0, 1, 2, \dots = \frac{( x φ _{n} , φ _{n} ) _{ρ}}{( φ _{n} , φ _{n} ) _{ρ}}, β_{n} = \frac{( φ _{n} , φ _{n} ) _{ρ}}{( φ _{n - 1} , φ _{n - 1} ) _{ρ}} = 0, φ_{0} = 1

4. 曲线拟合与最小二乘法

给定数据：

(x_{i}, y_{i}), i = 0, 1, \dots, m

拟合函数 $S (x)$ ，使残差平方和：

i = 0 \sum m ω_{i} [S (x_{i}) - y_{i}]^{2}

最小。

注意：
插值要求 $S (x_{i}) = y_{i}$ ；
拟合不要求通过每个点；
当数据含测量误差时，拟合比插值更合理。

四、数值积分

1. 基本思想

把积分近似成有限个函数值的加权和：（机械求积公式）

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx i = 0 \sum n A_{i} f (x_{i})

其中 $x_{i}$ 为求积节点， $A_{i}$ 为求积系数。

2. 代数精度

若公式对所有次数不超过 $m$ 的多项式都精确成立，但对某个 $m + 1$ 次多项式不精确成立，则称该公式具有 $m$ 次代数精度。

验证流程：

f (x) = 1, x, x^{2}, \dots

依次代入，找到第一个不能精确成立的次数。

这是数值积分最常考的计算题之一。

插值公式余项怎么计算？

3. Newton-Cotes 公式

基于等分节点的插值型求积公式就称为 Newton-Cotes 公式

梯形公式

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2} [f (a) + f (b)]

余项：

R_{T} = - \frac{( b - a ) ^{3}}{12} f^{''} (ξ)

Simpson 公式

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]

余项：

R_{S} = - \frac{( b - a ) ^{5}}{2880} f^{(4)} (ξ)

记忆方法：

梯形法：用一次插值；
Simpson 法：用二次插值；
Simpson 的精度通常高于梯形。

稳定性：Ai全为正

4. 复合梯形公式

令

h = \frac{b - a}{n}, x_{i} = a + ih

则

T_{n} = \frac{h}{2} [f (a) + 2 i = 1 \sum n - 1 f (x_{i}) + f (b)]

误差：

R_{T} = - \frac{b - a}{12} h^{2} f^{''} (ξ)

因此复合梯形公式是二阶收敛：

R_{T} = O (h^{2})

5. 复合 Simpson 公式

将区间分成 $2 n$ 等份，步长为 $h$ 。

S_{n} = \frac{h}{3} [f (x_{0}) + 4 奇 i \sum f (x_{i}) + 2 偶 i \sum f (x_{i}) + f (x_{2 n})]

误差：

R_{S} = - \frac{b - a}{180} h^{4} f^{(4)} (ξ)

因此：

R_{S} = O (h^{4})

注意：复合 Simpson 必须把区间分成偶数个小区间。

6. Gauss 求积公式

Gauss 型求积：

\int_{a}^{b} ρ (x) f (x) d x \approx i = 0 \sum n A_{i} f (x_{i})

含 $n + 1$ 个节点时，最高可达到：

2 n + 1

次代数精度。

Gauss 点是对应正交多项式的零点。

五、非线性方程求根

1. 二分法

适用条件：

f \in C [a, b], f (a) f (b) < 0

迭代步骤：

x_{k} = \frac{a _{k} + b _{k}}{2}

根据 $f (a_{k}) f (x_{k})$ 的符号决定保留哪个半区间。

误差估计

若第 $k$ 次中点为 $x_{k}$ ，则：

∣ x_{k} - x^{*} ∣ \leq \frac{b - a}{2 ^{k}}

优点：稳定、简单、必收敛。
缺点：速度慢，通常只用于先得到粗略近似。

2. 不动点迭代

将方程

f (x) = 0

化为等价形式：

x = φ (x)

再进行迭代：

x_{k + 1} = φ (x_{k})

局部收敛条件

若在根 $x^{*}$ 附近：

∣ φ^{'} (x) ∣ \leq q < 1

则迭代收敛。

特别地：

∣ φ^{'} (x^{*}) ∣ < 1

是局部收敛的关键判断条件。

收敛阶判断

若 $φ^{'} (x^{*}) \neq = 0$ ，通常是一阶收敛；
若 $φ^{'} (x^{*}) = 0$ ，且 $φ^{''} (x^{*}) \neq = 0$ ，通常至少二阶收敛。

3. Newton 法

公式

x_{k + 1} = x_{k} - \frac{f ( x _{k} )}{f ^{'} ( x _{k} )}

几何意义：用 $x_{k}$ 处切线与 $x$ 轴的交点作为下一次近似。

主要结论

若 $x^{*}$ 是单根，且 $f^{'} (x^{*}) \neq = 0$ ，则 Newton 法在根附近至少二阶收敛：

∣ x_{k + 1} - x^{*} ∣ \approx C ∣ x_{k} - x^{*} ∣^{2}

优点：收敛快。
缺点：依赖初值，需要导数，对重根会退化为线性收敛。

重根修正

若 $x^{*}$ 是 $m$ 重根，则可用：

x_{k + 1} = x_{k} - m \frac{f ( x _{k} )}{f ^{'} ( x _{k} )}

恢复二阶收敛。

4. 弦截法

避免显式求导：

x_{k + 1} = x_{k} - f (x_{k}) \frac{x _{k} - x _{k - 1}}{f ( x _{k} ) - f ( x _{k - 1} )}

优点：不需要导数。
缺点：通常比 Newton 慢，但比二分法快。

六、考试最容易失分的点

插值与拟合混淆
插值必须过点；最小二乘拟合通常不必过点。
Newton 插值与 Newton 求根混淆
前者是插值法，后者是非线性方程求根法。
代数精度与收敛阶混淆
代数精度针对求积公式；收敛阶针对迭代过程或步长趋于零时的误差。
稳定性与病态性混淆
病态说问题；稳定说算法。
复合 Simpson 的区间数写错
必须是偶数个小区间。
二分法条件漏写
必须连续且端点异号。
Newton 法的局部性忽略
Newton 法快，但初值不合适时可能不收敛。
余项公式中导数阶数写错
- $n$ 次插值余项： $f^{(n + 1)}$ ；
- 梯形公式： $f^{''}$ ；
- Simpson 公式： $f^{(4)}$ 。

七、建议的复习顺序

建议按下面顺序推进：

阶段	内容	核心目标
第一阶段	误差、病态、稳定性	会判断、会简答
第二阶段	Lagrange、Newton、Hermite 插值	会建表、会写公式、会估误差
第三阶段	最小二乘、正交多项式	会列法方程、会求系数
第四阶段	梯形、Simpson、Gauss	会算积分、会判代数精度
第五阶段	二分、不动点、Newton、弦截	会迭代并判断收敛性
第六阶段	综合题与证明题	强化“条件—结论—公式—误差”表达

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