级数收敛的必要条件

级数收敛的必要条件是：

其一般项趋于零。

即

$$级数\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n收敛⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0.$$

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严格表述：

设级数为

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n,$$

若该级数收敛，则必有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0.$$

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说明：

• 这是一个必要条件，不是充分条件。
  也就是说：
  • 如果 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n\ne 0$（或极限不存在），那么级数一定发散；
  • 但如果 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$，不能保证级数收敛。

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经典反例（说明非充分性）：

调和级数：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

虽然 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，但该级数发散。

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直观理解：

级数 $\sum a_n$ 的部分和为 $S_N=a_1+a_2+\cdots +a_N$。
若级数收敛，则 $S_N\to S$（某个有限数）。
于是相邻部分和之差：

$$a_N=S_N-S_{N-1}\to S-S=0.$$

因此必须有 $a_n\to 0$。