13 函数项级数

函数列与函数项级数

1. 函数列

函数列

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2. 函数项级数

设给定函数列 $u_1(x),u_2(x),...,u_n(x),...$ ，称表达式

${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...$

为函数项级数。 其中，$u_n(x)$ 称为级数的通项。

令 $S_n(x)={\sum }_{k=1}^n{u}_k(x)$，称为函数项级数的部分和函数。

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3. 收敛域与和函数

对于固定的 $x_0\in E$，如果数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为函数项级数的收敛点；否则称 $x_0$ 为发散点。

所有收敛点的集合称为函数项级数的收敛域，记为 $D$。

在收敛域 $D$ 上，函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的和是关于 $x$ 的函数，记为 $S(x)$，即

$S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in D$

$S(x)$ 称为函数项级数的和函数。

同样，对于函数列 $\{f_n(x)\}$，如果对于 $x_0\in E$，数项数列 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛，则称函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $x_0$ 处收敛。 所有收敛点的集合称为函数列的收敛域。 在收敛域上，函数列的极限称为极限函数，记为 $f(x)={\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)$。

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4. 一致收敛

函数列的收敛性和函数项级数的收敛性是研究的重点，尤其是一致收敛的概念。

设函数列 $\{f_n(x)\}$ 和函数 $f(x)$ 都定义在 $E$ 上，如果对于任意给定的 $ϵ>0$，存在 $N>0$，使得当 $n>N$ 时，对一切 $x\in E$ 都有

$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$

则称函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f(x)$，记作 $f_n(x)\stackrel{E}{\rightrightarrows }f(x)$。

类似地，对于函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$，如果其部分和函数列 $S_n(x)$ 在 $E$ 上一致收敛于和函数 $S(x)$，即 $S_n(x)\stackrel{E}{\rightrightarrows }S(x)$，则称函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 在 $E$ 上一致收敛于 $S(x)$。

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5. 一致收敛的判别法

一致收敛判别法

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6. 一致收敛的性质

一致收敛的函数列或函数项级数具有良好的性质，例如：

• 连续性: 如果函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n(x)$ 在 $x_0\in E$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处也连续。
• 可积性: 如果函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积，且

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_n(x)dx$

• 可微性: 如果函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微，且导函数列 $\{f_n^{\prime }(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g(x)$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可微，且 $f^{\prime }(x)=g(x)={\lim }_{n\to \infty }{f}_n^{\prime }(x)$。

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