绝对收敛级数与条件收敛级数

定义

若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 满足 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则称级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛。 若${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$发散,但是${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛,则称条件收敛.

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绝对收敛与收敛的关系

定理： 若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。

证明：

由于 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，根据柯西收敛准则，对于任意 $ϵ>0$，存在 $N>0$，使得当 $n>N$ 时，对于任意 $p>0$，有

$|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_{n+p}|<ϵ$

由于 $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|\le |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_{n+p}|$，所以

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<ϵ$

根据柯西准则，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。

注意： 级数收敛不一定绝对收敛。例如，交错级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ 收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left|\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right|={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散。我们称这种收敛但非绝对收敛的级数为条件收敛。

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绝对收敛级数的性质

1. 加法和数乘： 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 绝对收敛，则对于任意常数 $c$，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }c{a}_n$ 也绝对收敛。

   证明： 因为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|b_n|$ 收敛，所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(|a_n|+|b_n|)$ 收敛。又因为 $|a_n+b_n|\le |a_n|+|b_n|$，根据比较判别法，${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n+b_n|$ 收敛，所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)$ 绝对收敛。

   因为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|c{a}_n|={\sum }_{n=1}^{\infty }|c||a_n|=|c|{\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，所以 ${\sum }_{n=1}^{\infty }c{a}_n$ 绝对收敛。

2. 乘法： 柯西定理

3. 重排： 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛，则其任意重排 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{\sigma (n)}$ 也绝对收敛，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{\sigma (n)}$，其中 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 是一个双射。 这意味着绝对收敛级数的和不依赖于求和顺序。

   条件收敛级数不具有这个性质。黎曼重排定理表明，对于任何一个条件收敛的级数，都可以通过重新排列各项的顺序，使其收敛到任意一个实数，或者发散到正无穷或负无穷。