计算材料与数值结果

数值计算补充了第 28–29 章对样本估计与重复抽样性质的讨论。综合分析资料由一个明确的概率模型生成，每行对应一名独立的模拟参与者；仿真实验则在给定参数下重复抽样，以评价区间覆盖率与多重检验的错误率。前文“每组 200 人、成功 40／70 人”的手算例具有另一组设定，两类资料中的参数与数值分别属于各自的例题。

数值实验资料

计算环境与运行方法

计算使用 Python 3.12。以下命令以解压后的 Probability-Statistics/practice 为当前目录，虚拟环境保存本次数值实验所用的软件依赖。

python -m venv .venv

macOS／Linux 激活环境：

source .venv/bin/activate

Windows PowerShell 激活环境：

.venv\Scripts\Activate.ps1

然后执行：

python -m pip install -r requirements.txt
python scripts/generate_data.py
python scripts/analyze.py
python scripts/simulate.py
python scripts/create_figures.py

脚本内部的数据位置由脚本路径确定；上述相对命令以实践目录为起点。已下载的 CSV 可以直接用于分析，无须再次生成。固定随机种子确定的是给定算法与调用次序下的随机序列，因此相同结果还依赖生成顺序和软件版本。浮点运算库的差异可能反映在计算结果的末位。

以下结果采用 Python 3.12.14、NumPy 2.3.5、Pandas 2.2.3、SciPy 1.17.0、Statsmodels 0.14.6、Scikit-learn 1.8.0、Patsy 1.0.3、Matplotlib 3.10.8 计算。软件版本既关系到随机算法，也关系到具体检验和估计方法的实现。

数据字典与生成机制

固定种子 20261012，先生成组别、年龄、基线次数、渠道，再生成结局。组别按概率 .5 分配；年龄按 18–70 离散均匀分布生成；次数服从 Poisson(3)；渠道概率为 .45／.35／.20。结局生成模型为

其中渠道效应 search=0、social=−.25、referral=.35。给定变量后，每人的结局按 Bernoulli$(p_i)$ 独立生成。真实的模拟条件 OR 为 $e^{0.65}\approx 1.9155$；单次拟合估计与该值有差异，是抽样波动的一部分。

生成模型规定了样本的结构：标识唯一，组别与结局为二元编码，年龄有给定范围，访问次数为非负整数，渠道取自三个类别，并且不存在缺失。analyze.py 以这些约束判断输入资料是否对应所声明的模拟样本；空资料、缺列或不符合约束的记录会使计算停止。这一判断针对模型设定与文件内容的一致性，现实研究中的资料来源、纳入排除、重复观测和缺失机制则属于更进一步的研究设计问题。

综合分析的数值结果

干预减对照的风险差为 12.72 个百分点，95% 大样本 Wald 区间 8.23–17.20 个百分点；RR=1.528（log 区间 1.313–1.779）；粗 OR=1.836（log 区间 1.479–2.279）。四个期望频数均超过 200，未作连续性校正的 Pearson $X^2=30.660$，自由度 1，p=$3.074\times 10^{-8}$；Fisher 概率排序双侧 p=$3.366\times 10^{-8}$。

条件模型预先指定为 outcome ~ treatment + age + baseline_visits + C(channel)，search 为渠道基准，使用全部 1600 行。模型收敛，干预的调整 OR 为 1.930（95% Wald 区间 1.545–2.410）。这是在该模型条件下比较干预与对照的优势比；粗 OR 与调整 OR 的差别本身不足以认定存在混杂。

经验标准化以样本的基线分布为参照。对同一名对象，保留基线变量，分别计算组别为 0 和 1 时的预测概率；再对各组设定下的预测取平均，得到标准化风险 .23896 和 .37027。它们是条件概率模型在同一基线分布上的平均，因而与直接比较两组观测比例具有不同构造。本次计算未给出这两个量的置信区间，其估计精度尚未由区间量化。相应解释见 二分类研究的综合分析。

独立测试集上的预测表现

个体预测评价采用按结局分层的 70%／30% 样本划分，其中 1120 行用于拟合，480 行用于独立测试。测试集 ROC-AUC=.6149，Average Precision=.4111，阳性率=.3021；模型的 Brier 分数为 .2043，以训练集阳性率作为恒定预测概率时，测试集 Brier 分数为 .2108。前两项数值描述排序关系，Brier 分数描述概率预测的均方误差。

预定阈值 .5 下，测试集真负 312、假正 23、假负 126、真阳性 19，敏感度约 13.1%。干预系数的检验讨论组别与成功概率的关系，个体预测则面对每个对象结局的随机性；因此，前者具有较强统计证据，并不保证后者具有较强区分能力。本例阈值 .5 对应较多假负，其决策含义取决于两类错误的成本。该阈值为预先给定，并未通过测试集反复选择。各指标的定义见 预测评价。

区间覆盖与多重检验的数值评价

二项模型下的区间覆盖事件，是某次抽样所得区间包含给定参数值。20,000 次模拟中这一事件的频率估计覆盖概率；枚举全部 $k=0,\dots ,n$ 并累加相应二项概率，则直接给出固定参数点的实际覆盖率。后一计算的精确性属于覆盖率的求和过程，Wald 与 Wilson 区间本身仍具有各自的近似性质。

在第一参数点，Wald 区间明显欠覆盖；第二参数点中，Wilson 的实际覆盖率同样低于名义水平，且两种方法的相对表现发生变化。因此，一个参数点上的覆盖率只描述该点的性质。对方法的评价还涉及参数范围内的覆盖变化、区间长度以及研究所关注的误差。

多重检验实验采用理想化模型：20 个零假设全部为真，p 值相互独立并服从均匀分布。未校正的族错误率（FWER）仿真值为 .64365，理论值为 .64151；Bonferroni 校正后的仿真值为 .05245，理论值为 .04883。后一仿真值的标准误为 .00158。有限次重复所得频率围绕其理论概率波动，故观测频率高于 .05 与理论错误率控制并不矛盾。推导与实验讨论见 第 29 章。

软件方法参考

实现细节可查 SciPy Fisher 精确检验、Statsmodels GLM、比例置信区间 和 Scikit-learn 模型评估。各实现所采用的区间算法、双侧检验定义和评价指标，分别对应正文讨论的统计方法。

相关章节：综合分析 · 仿真正文 · 课程总览。