柯西定理

定义

若 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ 绝对收敛，则它们的柯西乘积 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$ 也绝对收敛，其中 $c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$。 并且有 $({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n)({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$.

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柯西乘积

柯西乘积是两个无穷级数相乘的一种方式。 给定两个无穷级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$，它们的柯西乘积定义为：

${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$， 其中 $c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$

这意味着：

$c_0=a_0{b}_0$ $c_1=a_0{b}_1+a_1{b}_0$ $c_2=a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0$ … $c_n=a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+...+a_n{b}_0$

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定理内容补充

柯西定理指出，如果两个无穷级数都绝对收敛，那么它们的柯西乘积也绝对收敛，并且柯西乘积的和等于两个级数各自和的乘积。

也就是说，如果 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n|<\infty$ 且 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|b_n|<\infty$，那么 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|c_n|<\infty$ 且 $({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n)({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$.

这个定理非常重要，因为它允许我们对无穷级数进行代数运算，例如乘法。 然而，需要注意的是，如果两个级数不是都绝对收敛，那么柯西乘积可能不收敛，或者即使收敛，其和也可能不等于两个级数各自和的乘积。

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绝对收敛的重要性

绝对收敛是指级数各项绝对值之和收敛。 绝对收敛是柯西定理成立的重要条件。 如果级数只是条件收敛（即级数本身收敛，但各项绝对值之和不收敛），那么柯西乘积可能不收敛。

考虑两个条件收敛的级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$。 它们的柯西乘积可能不收敛，说明了绝对收敛条件的重要性。

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应用举例

考虑两个级数：

${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ 和 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{y^n}{n!}$

它们都绝对收敛于 $e^x$ 和 $e^y$。 它们的柯西乘积为：

$c_n={\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}{\sum }_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{x}^k{y}^{n-k}=\frac{1}{n!}{\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k{y}^{n-k}=\frac{(x+y{)}^n}{n!}$

因此，${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(x+y{)}^n}{n!}$，它绝对收敛于 $e^{x+y}$。

验证了 $e^x{e}^y=e^{x+y}$。