当每位个体同时具有两个类别属性时，各种属性组合的出现次数便组成列联表。例如，组别和结局共同决定一个人落在哪个格子，行列总数表示各个类别的人数。从同一张表中，可以研究联合分布，也可以研究给定某一类别后的条件分布。
表的概率结构还取决于人怎样进入样本。只固定总样本量时，可以用多项模型描述联合计数；分别固定各组人数时，可以在组内二项模型的基础上建立乘积二项模型。按结局固定病例与对照人数，则改变了被固定的边际和所观察的条件分布。在无关联的零假设下，再给定全部行列边际，才得到条件超几何分布。抽样设计与条件化共同决定哪些计数可以变化。
类别的含义来自数据类型与研究设计，组内比例的分母来自条件概率，计数的变化则由二项与超几何分布等模型描述。这些关系为效应量提供估计对象，也为列联表检验提供参照分布。
分类变量的测量结构
名义类别只区分状态，不规定大小顺序，例如渠道 search、social、referral。将它们存储为 ，数字只是标签，因此“平均渠道为 ”没有明确的测量含义。有序类别则具有顺序，例如轻度、中度、重度，但相邻等级的间距未必相同；编码为 后作为连续变量，就在顺序之外加入了间距假设。只有两种状态的二分类变量，是类别分析最常见的起点之一。
一个多项分类中，每人恰好落入一个类别，类别因而互斥且穷尽所研究的状态。若每人只有一个主要渠道，各渠道人数合计为总人数；多选问卷允许同一人落入多个渠道，类别计数之和可能超过总人数，不再是一次多项分类。未回答与未适用描述观测或问题适用状态，真正的零值才描述结局本身，因此统一将它们编码成“否”会改变变量含义。
列联表可以保留等级分布，但不使用等级顺序的总体关联检验会把各等级当作不同标签，可能损失上升或下降趋势的信息。多分类与有序模型的区别，正来自类别是否具有可利用的顺序。
联合频数与边际频数
考虑虚构的随机分配实验，个体彼此独立：对照 人中 人成功，干预 人中 人成功。以 表示组别、 表示结局，每人的联合分类对应下表中的一个格子：
| 组别 | 成功 | 失败 | 行总数 |
|---|---|---|---|
| 干预 | |||
| 对照 | |||
| 列总数 |
四格人数称为联合频数，行列总数称为边际频数。这里每人只贡献一次联合分类，因而人数与观测单位对应。同一人若贡献多次记录，记录之间可能相关，条数便不再直接代表独立个体数；计数的抽样波动也会相应改变。
四格构成样本的划分，故满足 。组别定义、结局编码和缺失处理规定划分的含义；若样本经过筛选，纳入标准与排除人数还共同限定表所代表的人群。计数的分布由原始人数决定，四舍五入的百分比可能对应多种不同人数，因而不能直接代替计数检验所需的数据。
联合比例与条件比例
以全部受试者为分母，所得联合比例描述组别和结局同时发生的频率：
如果限定在某一行中，分母便成为该组总人数，比例描述给定组别后的结局分布：
如果限定在成功者这一列中，条件方向反过来，比例描述成功者的组别构成：
成功者中干预组占 ，这个构成还会随两组人数比例变化；干预组内成功率 则对应给定干预组后的成功概率。边际成功比例 把两个组内率按各组人数混合，既不是任一组的条件概率，也不同于成功者的组别构成。
随机实验的分配比例为 ，两组率在混合中各占一半权重。现实人群若只有 接受干预，即使两个组内率保持不变，总体成功比例也会因混合权重改变而改变。因此，试验边际比例与现实人群总体比例可能是不同参数。
“成功占比 ”只有在参照人群确定后才具有完整含义。这里干预组成功人数为 、该组总人数为 ，所以组内成功率为 ；改变分母，得到的就是另一个条件概率或联合比例。
总体独立性与期望频数
总体中的组别与结局独立，意味着知道组别不会改变结局分布，联合概率因而分解为
在行概率非零时，这与各组结局分布相同等价。以样本边际比例估计独立模型，再乘总人数，便得到每格期望频数：
本例两组各占一半，总成功率为 ，独立模型便给每组相同的成功率，期望成功人数为 、失败人数为 。实际成功数为 与 ，分别向期望的两侧偏离。
期望是重复抽样的平均，不要求为整数；实际人数仍然是整数。总体独立时，样本频数仍会随机偏离期望，所以观测与期望不同本身并未否定独立性。检验比较的是偏离的大小与独立模型所允许的抽样波动。
变量关系的独立性与个体观测的独立性处于不同层次。“组别与结局独立”是被检验的总体命题，“受试者彼此独立”是规定抽样波动的假设；同一家人的观测可能相关。四格计数还因总数约束而彼此相关，因此列联表方法要求的通常是适当的个体独立结构，而不是格子计数独立。
多项抽样模型
若从总体独立同分布地抽取 人，每人获得一个组别与结局的组合，总样本量固定，各行列总数却会随抽样变化。四种组合的总体概率记为 ，和为 ，联合计数便服从
出现特定四格计数的概率为 ，组合因子计算所有能产生这些计数的个体序列。由于总数固定，一格人数增加时，其他格可用人数减少，计数因而负相关。这种方案同时观察联合与边际构成，可以研究两个变量是否独立。
例如在代表性居民样本中同时记录是否吸烟、是否患病，且不按吸烟或疾病状态挑人，多项模型便是自然起点。此时患病信息对应横断面比例；一段时间内的新发风险涉及事件何时发生，是需要随访资料的不同参数。
乘积二项抽样模型
实验若预先确定干预 人、对照 人，行总数就不再随机。在各组内部个体独立、具有相同组内成功概率的模型下，成功人数仍可变化，各自服从二项分布：
两组独立意味着 独立，联合概率便是两个二项概率的乘积，称为乘积二项方案。成功总数 仍然随机。比较两组是否具有相同成功概率，通常称为结局分布同质性问题。
在二分类情形， 与联合分布中的独立性条件在代数上相通，因此许多大样本检验具有相同的 Pearson 统计量。相同计算仍有不同抽样含义：多项方案中的边际构成来自总体，乘积二项方案中的组人数由设计固定，研究对象是各组条件分布的比较。
每组若有三个以上结局类别，二项分布便扩展为组内多项分布，各组分布的乘积称为乘积多项方案。行总数固定、组内类别计数随机这一结构保持不变。
条件超几何抽样模型
在率相同的零假设下，两个二项模型共享一个未知成功率。若再给定两组人数及成功总人数，这个共同率便从条件概率中消去，剩下的随机性只是成功者怎样分配到两组。以 表示干预组成功人数，本例的条件分布为
从全部固定结局中选出干预组，其中包含指定成功数的组合数，除以所有可能选择的组合数，得到概率质量函数
这相当于从 个固定结局中选 个进入干预组，其中总共有 个成功，所选成功数随分配变化。 对应表的条件概率约为 。检验的 值比较一个尾部事件，还包含其他“至少同样极端”的表，不能由这张表的概率单独表示。
Fisher 精确检验就建立在这一条件分布上。所有边际可以由设计固定，也可以在乘积二项方案中对已观察到的成功总数条件化，以消去共同成功概率这一干扰参数。条件化不要求成功总数预先固定，却改变了使用的信息和参照分布；双侧概率的具体定义还决定哪些表进入尾部求和。
回顾性抽样与结构零
病例对照研究按结局选定病例与对照人数，再观察暴露，因此结局列总数由研究者决定。人为选取同样多的病例和对照，样本患病率就接近 。该比例是抽样安排的结果，与总体患病比例没有这种直接对应关系。
合适条件下的病例对照抽样保留优势比，却通常不保留暴露组的总体患病风险及风险比；后两者需要额外患病率或抽样概率信息。原因在于按结局抽样改变了事件与非事件的相对人数，而交叉乘积中的抽样因子可以相消。效应尺度因此与设计结构相联系。
机制上不可能出现的类别组合称为结构零，抽样中偶然无人落入的格子则只是观测零。前者改变模型允许的组合，可能改变支持和自由度，后者仍属于原模型的可能结果。稀疏类别可以依据科学含义合并，但依据显著结果反复选择合并方案，又会引入分析选择带来的误判机会。
抽样模型与关联尺度
联合计数、条件比例和边际比例是同一分布的不同表达。个体独立决定计数怎样波动，变量独立决定总体如何分解，总数约束则使格子计数彼此相关；它们不能相互替代。
固定总数的方式规定计数的参照分布，关联尺度则规定希望比较的参数。风险差、风险比与优势比从同一对条件概率得到，但只有与抽样设计匹配时才具有目标总体的解释。分类数据模型的进一步论述见 参考教材与开放课程。
习题
- 本例 、、 分别回答什么问题？哪个直接估计干预组成功率？
- 单个总体样本共 人，同时记录组别和结局；另一个研究预定每组 人。二者哪些总数固定、哪些随机？
- 若零假设两组率相同，给定成功总数 ，干预成功人数为什么是超几何而不是一个不加条件的二项变量？
- 病例对照研究样本中 为病例。能否报告总体患病风险为 ？四格计数是否应相互独立？
参考解答与推理
- 是成功者中的干预组比例； 是干预组的成功率； 是全部受试者中既处于干预组又成功的联合比例。第二个分母与目标组内率匹配。
- 多项方案中总人数固定，各行列总数都可变化；乘积二项方案中两组人数固定，成功总数和各组成功数随机。不同固定条件对应不同概率模型。
- 条件化固定了总成功数，分配一个成功给干预组会减少对照组可分配的成功，属于有限集合中的无放回分配。共同成功率在条件概率中消去，得到超几何分布。
- 不能；病例比例由抽样设计决定，通常不代表总体比例。四格计数也不独立，因为总数及边际形成约束；许多方法要求的是个体观测独立，而不是格子计数独立。
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