两组结局的差异，既可以用每百人多发生多少次事件来描述，也可以用事件概率相差多少倍来描述。另一种比较以未发生事件者为参照，考察事件与非事件人数之比如何变化。这三个问题分别产生风险差、风险比和优势比，同一份数据因此具有不同的效应尺度。
每种效应量都有自己的抽样波动，区间需要与相应尺度匹配。差值可以直接讨论方差，比值则通常在对数尺度上构造近似区间。病例对照抽样还会改变可估计的参数：某些风险解释失去依据，而优势比可在特定抽样条件下保留。
这些推导以列联表与抽样方案为基础，采用区间估计中的覆盖解释。“风险”在此泛指一个明确事件在指定时间窗口内的概率，事件既可以是不良结局，也可以是教学例中的成功。事件和时间窗口是参数定义的一部分，改变它们也就改变了所比较的风险。
风险、优势与效应尺度
设干预组事件概率为 ，对照组为 。相减得到绝对差异，相除得到相对概率，而各组事件概率与其补概率之比给出优势。三种效应量定义为
RD 称为风险差，率相同时取 ；RR 称为风险比，OR 称为优势比，率相同时都取 。风险比的分母要求 。有限正优势比及其对数区间要求两组概率都处于 ；边界上的零概率或确定事件可能产生零、无穷或无法直接定义的比值。
概率 以全部人为参照，优势 odds 则为 ，以未发生事件的部分为参照。成功概率 相当于五人中平均一人成功，其成功优势为 ，即成功与失败约为 。优势的分子可以大于分母，因而可以超过 ，概率却不能。
成功人数相对于总人数的比例称为成功概率，成功人数相对于失败人数的比值称为成功优势。因此，OR 为 表示优势翻倍，不能据此解释为成功概率翻倍。
二乘二表中的效应估计
虚构的独立个体随机实验给出以下二乘二表：
| 组别 | 成功 | 失败 | 总数 |
|---|---|---|---|
| 干预 | |||
| 对照 |
以各组人数为分母，成功率估计分别为 、。
两个样本比例相减，给出风险差估计：
这表示成功率增加 15 个百分点。若再以对照成功率为分母，相对增加幅度为 ，即增加 。百分点描述绝对变化，百分比描述相对于基线的变化。
直接以干预成功率除以对照成功率，得到风险比估计：
干预成功概率是对照的 倍。减去没有变化时的基准，得到 ，因此它与上述相对增加表达同一关系。
每组的成功人数与失败人数先形成优势，再将两个优势相除：
干预组成功优势约为对照组的 倍，相对优势增加约 。这个比值的分母来自失败人数，与总体人数不同，因此“成功率提高 ”不再是同一个命题。
绝对差与预期事件数量的改变相联系，相对变化则以基线为参照。例如某事件从 降至 ，RR 为 ，相对减少 ，绝对减少却为 个百分点。基线风险不同，相同相对量对应的事件数量也会不同。
风险差的区间估计
风险差估计随两个样本比例一起变化。两组独立使协方差为零，因此差值方差等于两个方差之和；分别代入各组率估计，得到标准误
将教学表中的组内率与样本量代入，得到
若差值的正态近似适当，简单大样本 区间为
区间对应增加约 至 个百分点。这里采用未合并方差的 Wald 近似，教学例各格人数较充足，适于展示其计算。小样本或边界概率可能使这一近似的覆盖率变差；基于 Wilson 单比例区间的 Newcombe 方法、得分方法及其他设计相符的方法，采用不同构造来处理这些问题。端点裁剪到 只改变范围，没有改变原近似的遗漏概率。
配对资料中，两个结局的协方差一般不为零，差值波动还包含这一项，因而不能使用独立两组的标准误；其结构见配对分析。系统性漏报、失访与混杂又不属于这里的抽样波动，常规区间不会自动包含它们。
风险比的对数区间
两组事件概率为正时，风险比也是正比值，抽样分布常偏斜。原尺度上的对称正态区间可能出现负下限，超出参数的正值范围。对数既把比值化为差值，又使正值范围对应整个实数范围；在适当近似下，可以先估计对数风险比，再以指数变换恢复端点。
设 。在估计值附近，曲线可用切线局部近似，变换后的变化量约为 原变化量。由于 ，原方差便近似乘以导数的平方，得到
这种局部线性化称为 Delta 方法。两组独立，，对数差的方差仍是两组方差之和，标准误近似为
代入本例，方差近似为 ，标准误为其平方根 。估计的对数风险比为 ，相应区间为
对数变换单调递增，所以两个端点取指数后仍按原方向排列，得到
指数变换是非线性的，因此 RR 尺度的端点不以 对称。换算为相对成功概率变化，约为增加 至 。这些相对变化对应多少绝对变化，还取决于对照风险。
优势比的对数区间
优势比同样可以在对数尺度上展开，交叉乘积转化为四个对数项：
独立两组二项抽样中，每组的对数优势为 ，导数为 。Delta 方法由此给出方差近似 。代入计数，一组的方差贡献写为 ，另一组写为 ，合起来得到
本例的方差近似为 ，标准误约为 。估计的对数优势比为 ，经标准误构造并指数变换，得到
这项近似依赖四格计数足够且模型适当。零格使对数与倒数无法按通常形式计算，也破坏了局部近似的稳定性。每格加 虽可生成数值，却改变了估计，不能由可计算性推出适用性。精确方法、惩罚似然或其他与设计相符的方法，为这些情形提供了不同的推断依据。
风险比与优势比的关系
由优势的定义展开，可得风险比与优势比的精确关系：
两组事件概率都很小时，两个 都接近 ，修正因子接近不作修正，OR 因而近似 RR。这是常用的充分条件；两组概率接近时，即使事件并不稀有，修正因子也可能接近不作修正。因此，稀有事件不是近似的必要条件。使用罕见事件近似时，仅有对照组事件稀有还不足以保证另一组也稀有；两组概率与可接受误差共同决定近似质量，不存在适用于所有问题的固定百分比界线。
事件概率从 到 时，RR 为 ，OR 约为 ，两者接近。从 到 时，修正因子为 ，OR 比 RR 高约 ；此时将两种解释互换，会明显改变所表达的概率变化。
当 ，修正因子使 OR 大于 RR；当 ，OR 小于 RR，均表现为更远离无效应值 。这一方向由尺度转换产生，而不是新发现了更强的因果效应。OR 仍然描述优势倍数，不能转用概率倍数的解释。
交换组别的参照方向时，RR 与 OR 取倒数，RD 变号。把成功改为失败则是另一种改变：OR 取倒数，但失败 RR 通常不是成功 RR 的倒数。本例失败 RR 为 ，成功 RR 的倒数约为 。事件编码与参考类别因此共同规定效应量的方向和含义。
抽样设计与条件效应的解释
病例对照抽样按结局选择人，改变了组内事件率，直接观察到的风险通常不再对应总体风险。暂以 表示总体四格的相对频数，成功与失败的抽样概率为 。若给定结局后抽样概率不再随暴露组别改变，四格分别乘以对应结局的因子再归一化，交叉乘积中的共同因子便相消：
因此，在上述机制下总体 OR 被保留，样本 OR 则仍会随抽样波动。相消关系依赖的是给定结局后的相同抽样因子；如果选择概率还依赖暴露或其他因素，这个关系可能破坏，朴素 OR 也可能偏离目标。
Logistic 回归的指数化系数给出条件优势比，通常比较其他模型变量固定时的关联。调整后的 OR 与粗 OR 不同，可能来自混杂，也可能来自 OR 的非可塌缩性。因此，仅有二者差异不足以证明混杂，更不能把条件优势比直接当作因果风险比。
已知 OR 且另有对应基线风险时，上述两种比值的关系可以反过来解出风险比：
公式中基线风险仍然参与分母，所以单个 OR 不能唯一确定 RR。复杂模型的条件 OR 与总体边际 RR 又位于不同层次；边际量通常通过预测标准化等步骤得到，不能由一个条件系数直接套用这一简单换算。
效应尺度与推断对象
风险差、风险比和优势比来自同一对概率，但它们的基准、范围和量纲不同。基线风险联系绝对与相对尺度，事件及参照方向则决定每一个数值实际比较什么。
抽样结构决定哪些参数可以从样本得到，近似条件则决定区间怎样表达不确定性。病例对照设计的优势比不变性就是这种联系的例子。列联表检验进一步比较观测与参照分布的偏离程度，效应量仍描述偏离的大小，二者具有不同的推断作用。方法补充见 参考教材与开放课程。
习题
- 成功率从 到 ，分别用百分点、相对概率变化、RR、OR 描述。哪一种说法不能换成“成功率翻了 倍”？
- 不良事件从 降至 ，求 RD、RR、OR，解释相对减少与绝对减少的不同。
- 把本例事件改为失败，求 RD、RR、OR。为什么成功 RR 的倒数不是失败 RR？
- 某病例对照研究报告 OR 为 。能否据此说事件风险为原来的三倍？如果基线风险为 ，由上述公式换算的 RR 是多少？
参考解答与推理
- RD 为 ，即增加 个百分点；相对概率增加 ；RR 为 ；OR 为 ，描述优势倍数。OR 的语言不能换成成功概率倍数，因为分母从全部人数变成了失败人数。
- RD 为 ，即减少 个百分点；RR 为 ，相对风险减少 ；OR 为 。两组事件都较稀有，所以 OR 与 RR 接近，但绝对减少仍只有每百人约一例。
- 失败率为 与 ，RD 为 ，RR 为 ，OR 为 。事件互补改变的是 ，不是 ；OR 的分子分母均交换，所以恰为倒数。
- 不能；OR 是优势比，病例对照样本还不能直接提供总体基线风险。如果外部基线风险 与同一目标总体及效应相匹配，则 RR 为 。模型条件量与总体量的区别仍需检查。
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相关概念：风险优势与效应量。