掷两次硬币，可以记录先后出现的完整序列，也可以只记正面次数。两种记录来自同一试验，后一种却把若干序列合并成同一个数。研究结果尚未确定时的可能性，既要说明哪些结果被区分，也要说明每个结果承载多少概率。样本空间、事件与概率由此成为一个相互联系的模型。
事件用集合表达，概率则把集合的包含与组合关系转换为数值关系。非负性、总概率和可加性构成这种转换的基本规则。分数、求和与符号 所描述的运算，在这里有了具体概率含义；有限等可能模型进一步使概率计算归结为计数，排列与组合便从结果的组织方式中产生。
随机试验与样本空间
随机试验指结果事先不确定、可能结果可以描述的观察过程。它可以是一次人为投掷，也可以是观察明天是否下雨，或记录抽到哪位参与者。“试验”在概率论中表达这样的结果产生过程，并不限于人为安排的实验。
所有可能结果组成样本空间 。一次骰子投掷的样本空间为 ，偶数结果构成事件 。事件是样本空间的子集，事件发生即表示实际结果属于这个子集。于是，“偶数”这一描述被表达成可以参与集合运算的对象。
掷两次硬币时，保留次序的样本空间为
H 与 T 分别表示正面与反面。“恰好一次正面”对应两个序列 。若只记正面次数，结果集合变为 。对独立、公平的两次投掷，四个序列各有概率 ，正面次数 0、1、2 却分别具有概率 ；次数为一承载了两条路径的概率。
合并结果时，原有概率随之相加，所以三个计数值不再等可能。一个结果集合只回答“有哪些结果”，概率分配才回答“每种结果有多大可能”。等可能性因此属于模型，而不由集合中元素的个数直接给定。
概率公理及其推论
概率函数 为事件赋予数值，同时保持以下基本关系：
- 任一事件 的概率非负：。
- 整个样本空间的概率为 1：。
- 对两两互不重叠的事件 ，并集概率等于概率之和：。
第三条是可列可加性，说明互不重叠的部分可以按概率相加。这也包含有限个事件的情形：互斥事件 满足 。有限计数问题中的加法，正是这条公理在有限集合上的表现。
补事件 包含 未发生的全部结果。 与 互不重叠，又共同组成整个样本空间。可加性使两者的概率之和等于总概率，从而得到
空事件 不包含任何结果，其概率为 0。由于一个事件与补事件的概率相加为 1，每项又非负，所以任一事件概率均不超过 1。包含关系同样传递到概率：若 ，则 ，因为较大的 除了 以外至多再增加一些具有非负概率的结果。
公理规定的是事件之间的概率关系。 描述一次试验中的可能性，并未规定接下来五次必须发生一次；有限次观察仍可出现不同结果。重复观察的频率与模型概率之间的极限关系，见 大数定律与中心极限定理。
事件的集合运算
并集 包含“A 或 B 发生”的全部结果，包括两者同时发生；交集 只包含“A 与 B 都发生”的结果。因此，“至少一个”对应并集，“恰好一个”则还要从并集中去掉交集。
把 与 相加，交集中的结果在两个集合中各被计入一次。并集只计一次这些结果，所以从两项之和中减去一次交集概率，便得到
设公平骰子中的 为偶数事件， 为大于 3 的事件。 与 的交集为 。两项之和重复计算了这部分，减去后有 ，对应四个结果 。
交集为空，即 ，称为互斥。例如一次投掷得到 1 与得到 2 不会同时发生，知道前者发生就已排除后者。这是一种结果上的相互约束，与独立性所表达的信息不改变概率具有不同含义。
有限等可能概率模型
有限样本空间含 个基本结果。若模型使每个结果的概率均为 ，一个事件就是若干等概率结果的并集，可加性于是给出
例如两枚独立公平骰子共有 个有序结果 ，每个结果等可能。点数和为 7 对应 六条路径，因此其概率为 。这里分子与分母都在有序结果的层次上计数。
点数和可取 2 至 12，共 11 个值，但不同和值包含的路径数不同，不能由此赋予和为 7 的概率 。和为 2 只有 ，和为 7 有六条路径。同样，若把 与 合并为一个无序结果，却保留有序结果总数 36，分子与分母便不再表示同一个划分，计数比也失去相应的概率解释。
公平、独立或均匀抽取说明基本结果怎样获得概率。骰子各面概率不同时，或抽样机制偏向某些对象时，每个结果贡献的概率不再相同。事件概率仍是它包含的基本结果概率之和，但各项具有不同权重，单纯的结果个数之比不再适用。
加法原理与乘法原理
计数也保留集合的组合关系。若两类选择互不重叠，分别有 与 种，合起来有 种，这就是加法原理。例如早餐只选一个主食，米饭有 3 种、面食有 4 种且没有重复菜单，共有 7 种。两类若有重复，同一项在总和中被计两次，因而要减去一次重叠。
一个结果若由连续步骤构成，第一步有 种选择，而且每条第一步分支都能接上 种后续选择，完整路径数便为 ，这就是乘法原理。三位 PIN 每位可取 0–9，开头允许为 0 且允许重复时，共有 种路径；不允许重复时，后续可选项依次减少，得到 种。
第一位选定以后，第二位剩余 9 个选择，具体可用的数字随第一位而变，但每条分支都恰好有 9 项。乘法计数只依赖这种数量关系，并没有假定随机事件独立。联合概率中直接相乘两个无条件概率，则另以独立性为依据：计数乘法与概率乘法具有不同前提。
三位整数的首位不能为 0，这使它与三位 PIN 的路径集合不同。不允许重复时，首位有非零选择，次位可选尚未使用的数字，最后一位再次减少，结果为 。限制条件进入每一步的可选项数，因而直接进入乘积。
排列与组合
把 个不同对象全部排成一列，首位有 项选择，下一位剩 项，逐步减少后得到 种排列。 称为阶乘，表示 ，并规定 ，使相应计数公式在空排列的边界情形也保持一致。
若从 个不同对象中不重复地取 个，并保留顺序，只取前面相应数量的选择步骤，计数为
种。若忽略顺序，每一组 个对象在刚才的计数中都出现了 次，对应它们的全部先后排列。除去这一重复因子便得到组合数
例如 5 人中选 2 人担任不同职务，先后职务有区别，因此共有 种安排；若选 2 人组成没有职务区别的委员会，则同一对人被两个顺序重复计算，得到 种组合。公式中的重复因子建立在对象不同、不放回与忽略顺序这几个条件上；允许重复的选择具有另一种计数结构。
不放回抽样的概率计算
盒中有 3 个红球、2 个蓝球，各球作为实体彼此不同。均匀不放回地抽出 2 个球，两个都为红球的事件可由球的组合表示。颜色确定事件，个体球确定基本结果，两个层次在这个问题中各有作用。
忽略抽取顺序时，全部二球组合有 个，均匀抽取使它们等可能。红球组合只从红球中选择，有 个，因此事件概率为 。
保留顺序时，每个无序组合被记录为两条路径：全部路径有 条，红球路径有 条，故概率仍为 。同时改变分子与分母的计数层次，保留了同一事件的概率。
另一种计算 会让第二次仍沿用原来的红球比例。然而第一球为红时，剩余四球中只有两球为红，后一次的条件范围已经改变。条件概率的乘法公式恰可表达这一步变化；抽后放回并充分混匀时，条件范围保持原来的构成，才对应另一种抽取模型。
习题
- 、、。求至少一个发生及两个都不发生的概率。
- 两次独立公平硬币投掷，只记录正面次数。为什么不能把 0、1、2 三种次数各赋概率 ？
- 从 6 名不同学生中选 3 名参加同一小组，不分职务，共有多少种？若选的是组长、记录员、汇报员三个不同职务呢？
- 盒中有 3 红 2 蓝，均匀不放回抽 2 球，求至少有一个蓝球的概率。尽量用补事件减少计算。
习题解答
- 至少一个发生的概率为 。两个都不发生是并集的补事件，概率为 。不是简单相加为 0.9，因为交集被重复计数。
- 四个有序序列才是该模型下等可能的基本结果；一次正面对应 HT 与 TH 两个序列，另两种次数各只对应一个。计数结果的概率因此为 ，不能由结果个数直接决定。
- 同组无职务差别是组合，。不同职务保留分配顺序，有 。每个无序三人组对应 种职务安排。
- “至少一蓝”的补事件是“两球全红”，后者为 。故答案为 。补事件覆盖了恰好一蓝与两蓝，无需分开计数。
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相关概念：概率质量密度与分布函数。