06 随机变量与分布函数

两次投掷的正面次数，或一个人的等待时间，都是从观察结果中提取的数值。不同结果可能给出同一个数：先正后反与先反后正，都记为一次正面。把结果映射到数值时，原有的概率随映射汇集，形成数轴上的分布。随机变量就是这个对应规则，分布则说明规则所给数值的概率构成。

事件与概率规则 规定如何汇集结果，独立性与条件概率 则给出不同观察之间的关系。借助这些关系，离散取值可以分别承载概率质量，连续范围中的概率可以由密度面积表达；累积分布把两种表达统一为“数值不超过某个阈值”的概率。

随机变量及其映射

随机变量 $X$ 是样本空间上的实值函数。每一个基本结果 $\omega$ 由这一规则对应到一个数 $X(\omega )$。有限模型可直接列出全部对应关系；更一般的模型还要求这一映射与事件的概率定义相容，使关于数值的事件也具有概率。

两次独立公平硬币投掷有 HH、HT、TH、TT 四个等可能结果。取 $X$ 为正面次数，相应映射为

$$X(\mathrm{HH})=2,X(\mathrm{HT})=1,X(\mathrm{TH})=1,X(\mathrm{TT})=0.$$

HT 与 TH 这两条路径虽然具有不同顺序，在所研究的计数上却相同。事件 $X=1$ 因而包括两条路径，它的概率是两者的概率之和。映射保留了正面数量，舍去了出现次序。

大写 $X$ 表示随机变量，小写 $x$ 表示可能值或一次观察值。观察到 $x=1$ 后，这次结果已经确定；描述试验机制的随机变量仍包含其他可能结果。随机性属于结果产生的过程与观察前的不确定性，观察值则是这个过程的一次实现。

渠道标签也可以映射为 1、2、3，从而为事件“$X=2$”计算概率。这种编码保留了类别身份，却未规定类别之间的数量距离。因此类别均值可随任意代码改变，数值映射与测量尺度具有不同含义。

概率质量函数

离散随机变量的取值为有限个或可数无限个，例如访问次数 $0,1,2,\dots$。每个取值所承载的概率由概率质量函数 PMF 表示，定义为

$$p_X(x)=P(X=x).$$

质量函数把概率直接放在取值点上。非负性给出 $p_X(x)\ge 0$，而全部取值划分了所有可能结果，所以总质量为 1，即 ${\sum }_x{p}_X(x)=1$。区间中的概率便是落入该区间的点质量之和。

两次硬币例子的分布表为：

$x$：正面次数	对应结果	$p_X(x)$
0	TT	$1/4$
1	HT、TH	$1/2$
2	HH	$1/4$

这份分布的支持，即概率实际所在的取值范围，为 $\{0,1,2\}$。其余值的概率为 0；例如 $P(X=1.5)=0$，因为正面计数没有这个取值。事件 $X\ge 1$ 包含两个互斥的点，因而 $P(X\ge 1)=p_X(1)+p_X(2)=3/4$。支持与质量函数一起确定了概率求和的范围。

“发生一次”是最有可能的取值，其质量为 $1/2$，仍小于必然事件的概率 1。频数图中的最高柱同样只是指出最常见取值，而非一个必定出现的结果。

累积分布函数

点概率给出局部质量，累积分布函数 CDF 则把一个阈值左侧的全部概率汇集起来，定义为

$$F_X(t)=P(X\le t).$$

阈值 $t$ 决定累计到哪里，函数输出包含该阈值以及左侧全部取值的概率。定义中的“小于等于”使阈值上的质量也进入累积；在离散取值点，这一项决定了函数采用跳跃后的值。

硬币例子的 CDF 为

$$F_X(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ 1/4,& 0\le t<1,\\ 3/4,& 1\le t<2,\\ 1,& t\ge 2.\end{array}$$

在 $F_X(1.7)=3/4$ 中，事件 $X\le 1.7$ 仅包含 0 与 1。阈值从 1 向 2 移动，在到达 2 以前不会纳入新的概率质量，因而函数值保持不变。到了跳跃点，$F_X(1)=3/4$ 而非 $1/4$，因为此时 $X=1$ 已包含在累计事件内。

阈值提高时，累计事件只能增加结果，所以 CDF 不下降；它的值是概率，位于 $[0,1]$。阈值走向负无穷时，纳入的结果趋于空，概率趋于 0；走向正无穷时，纳入全部结果，概率趋于 1。CDF 还具有右连续性：在跳跃点，它取的是已经包含该点质量的值，与从右侧趋近时相同。

离散分布的累计过程于是呈阶梯状。用 $F_X(t^{-})$ 表示从左侧趋近 $t$ 时的累积值，它尚未包含该点质量，而在点上的函数值已经包含。两者之差恢复该点概率：

$$P(X=t)=F_X(t)-F_X(t^{-}).$$

本例在 1 处由 $1/4$ 上升至 $3/4$，差值为 $1/2$，正是 $P(X=1)$。累计函数的跳跃与质量函数的点值，因而是同一概率的两种表示。

分布函数与区间概率

对任何随机变量与 $a<b$，

$$P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a).$$

累计事件 $X\le b$ 由不重叠的 $X\le a$ 与 $a<X\le b$ 组成。后一事件的概率因而等于整个累计概率减去左侧部分，这给出区间概率的差分关系。

硬币计数中，$P(0<X\le 1)=F_X(1)-F_X(0)=3/4-1/4=1/2$，减法去掉了 0 点及其左侧质量。闭合左端时，$P(0\le X\le 1)=3/4$，0 点质量随之保留；一般表达为 $F_X(b)-F_X(a^{-})$，即减去尚未包含左端点的累计值。

相同的端点关系给出右尾：$P(X>t)=1-F_X(t)$，而 $P(X\ge t)=1-F_X(t^{-})$。前者排除阈值点，后者包含它。纯连续分布中单点没有质量，两种表达通常相同；离散分布在支持点则可能有不同值。

图示为 $n=10$、$p=0.3$ 的二项分布。左图 PMF 的每根柱表示相应取值的点概率；右图 CDF 把这些概率从左向右累加，各阶梯的跳跃高度对应左图同一取值的概率质量。

连续分布的概率密度

对于具有概率密度函数 PDF 的连续分布，区间概率由密度曲线下的面积给出：

$$P(a<X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx.$$

密度非负，整条曲线下的总面积为 1。把区间分成许多窄条，每条的高度与宽度之积近似相应的局部概率；条宽趋于零时，累积面积由积分表达。与点质量不同，密度给出的是局部概率随宽度累积的尺度。

设等待时间 $U$ 在 0 到 0.5 小时间均匀分布，即支持范围内等长的时间段有相同概率。这是一种理想化等待模型。总面积为一且高度处处相等，便给出密度

$$f_U(u)=\{\begin{array}{ll}2,& 0\le u\le 0.5,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

它的支持为 $[0,0.5]$，整个范围外没有概率。支持中的点也未必有正的点概率；对于这里的连续模型，任意小的邻域可以包含正概率，单点却仍可具有零概率。因此连续支持描述的是概率分布所在的区域，而不是一组具有正质量的点。

高度为 2、宽度为半小时的矩形，总面积为 $2\times 0.5=1$。等待在 0.1 至 0.2 小时的概率为相应矩形面积 $2\times (0.2-0.1)=0.2$。密度虽然超过 1，区间面积仍符合概率范围；密度与概率的区别正在于它还要与区间宽度共同确定概率。

单点事件 $P(U=0.2)=0$ 与密度值 $f_U(0.2)=2$ 是不同对象。单点没有宽度，其曲线下面积为零；若取 $u$ 附近一段很窄的区间，而且密度在其中近似稳定，区间概率才近似为密度乘区间宽度。

密度的单位与横轴单位互为倒数。本例按小时记录，密度是每小时的量；令 $V=60U$ 改为分钟，支持变为 0–30 分钟，高度则为 $1/30$ 每分钟。原来的相应事件变为 6–12 分钟，概率仍是 $(1/30)\times 6=0.2$。横轴放大、纵轴缩小而面积不变，使同一事件的概率保持一致。

连续模型中的一次观察最终落在某个数值上，尽管任意事先指定的精确点都具有零概率。离散计数不取 1.5，与连续支持中某点为零概率，理由因而不同。现实测量具有精度，“读数恰为 12 分钟”往往已经将一个舍入区间归为相同读数，与无限精确的点事件有所区别。

连续分布与密度 中的不同曲线形状，正是不同区间概率构成的表达；积分将这些局部形状与概率联系起来。

分布函数与密度的关系

均匀等待时间的 CDF 为

$$F_U(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ 2t,& 0\le t\le 0.5,\\ 1,& t>\mathrm{0.5.}\end{array}$$

$F_U(0.2)=0.4$ 把 12 分钟及以前的区间面积汇成 40% 的概率，并不描述恰好 12 分钟的点概率。在该范围内，CDF 随阈值线性上升，PDF 保持水平；累计面积随宽度增加，局部密度则保持相同。

在足够规则的连续位置，CDF 的局部变化率为密度，反向将密度积分便得到 CDF。离散累计以求和汇集点质量，具有密度的连续累计以积分汇集区间面积。两种运算不同，所描述的都是阈值及其左侧的同一个累计事件。

离散与连续成分的混合分布

再设等待时间 $T$ 中，30% 的人无需等待，即 $P(T=0)=0.30$，其余 70% 在 0–10 分钟间均匀等待。零点具有单独的点概率质量，正时间上又有连续概率，这构成离散与连续成分的混合分布。

它的 CDF 在 0 处跳到 0.30，之后逐渐上升：

$$F_T(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ 0.30+0.07t,& 0\le t\le 10,\\ 1,& t>10.\end{array}$$

在 0 处的 30% 概率表现为跳跃，正时间的连续概率表现为随阈值逐渐上升。普通密度的区间面积无法单独放入这个点质量，有限个点的 PMF 又无法给出连续部分。CDF 则同时描述两种成分。离散、具有密度的连续与混合分布涵盖了这里讨论的常见模型，概率理论中还存在其他分布类型。

经验分布与分位数

概率分布表达生成机制，频数则表达一次样本的实现。硬币模型给定 $P(X=1)=1/2$，重复十次时却可能出现不同次数的一次正面结果，未必恰好五次。固定的模型概率与变化的样本构成，正是总体描述与样本描述的区别。

对于观测 $x_1,\dots ,x_n$，经验 CDF 在阈值 $t$ 处取“不超过 $t$ 的观测数除以 $n$”。它把这批数据的累计构成画成阶梯，各跳跃来自实际观测，而非已知的生成概率。以这条曲线估计机制中的分布，仍以抽样方式和观测依赖为推断基础。

分位数则反向问：“累计概率达到指定比例时，阈值在哪里？”对 $0<p<1$，常用定义为

$$q_p=\inf \{t:F_X(t)\ge p\},$$

这一定义取累计概率达到至少 $p$ 的最左阈值。硬币次数的 50% 分位数为 1，因为在 0 处累计为 $1/4$，在 1 处已达 $3/4$。跳跃直接越过 50%，所以离散分位数不必满足 $F_X(q_{0.5})=0.5$。有限样本中还存在不同插值规则，其差异属于样本分位数的定义方式。

习题

1. 对两次独立公平硬币的正面次数 $X$，求 $F_X(0.8)$、$P(X\ge 1)$、$P(0<X\le 2)$。
2. 对 0–0.5 小时的均匀等待时间，求等待不超过 0.1 小时的概率；解释 $f_U(0.1)=2$ 为什么不是概率。
3. 已知 $F_X(2^{-})=0.4$、$F_X(2)=0.7$。求 $P(X=2)$、$P(X>2)$ 与 $P(X\ge 2)$。
4. 在 30% 无需等待、其余均匀等待 0–10 分钟的模型中，求恰好不等待、等待超过 5 分钟的概率。能否称其为纯连续分布？

习题解答

1. $F_X(0.8)=P(X=0)=1/4$。$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=3/4$；$P(0<X\le 2)=F_X(2)-F_X(0)=1-1/4=3/4$。两项相同是因为这个模型最大值为 2，而不是所有变量都如此。
2. 概率为矩形面积 $2\times 0.1=0.2$。2 的单位是每小时的密度，只有乘时间宽度才给出无单位的概率；精确点 $U=0.1$ 的概率仍为 0。
3. 2 点的概率为跳跃高度 $0.7-0.4=0.3$。严格大于 2 的概率为 $1-0.7=0.3$；大于等于 2 的概率为 $1-0.4=0.6$。两种尾概率相差 2 点的质量。
4. 不等待概率为 0.30。超过 5 分钟的概率为 $0.70\times (5/10)=0.35$，也等于 $1-F_T(5)=1-0.65$。它在 0 点有正概率，因此不是纯连续分布，而是离散点质量与连续部分的混合。

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相关概念：概率质量密度与分布函数。