01 概率统计的数学语言

统计学中的数值总与某个对象相联系。成功人数除以总人数，可以描述一个人群的成功比例；分母换成完成随访的人数，得到的便是另一个人群的比例。两项计算都符合除法规则，却有不同的统计含义。由此可见，理解公式既包含理解运算，也包含理解参与运算的量。

分数、函数与求和把具体观测写成一般关系，指数和对数则使同一关系可以在不同尺度上表达。以下讨论从成功人数与比例展开，只以正负数和四则运算为基础。导数与积分暂从变化率和面积理解，它们分别说明函数怎样变化，以及许多局部贡献怎样累积成一个总量。

比例与百分数

假设一次虚构教学实验中，干预组有 200 位独立参与者，其中 70 位达到成功标准。成功比例是

$$p=\frac{70}{200}=0.35=35\%.$$

70 是成功人数，200 是计算所涉及的人数，二者对应同一批参与者。若 200 人中只有 180 人完成随访，而 70 人成功是这 180 人中的结果，那么 $70/180$ 描述的是完成随访者的成功比例。未完成随访者的结果尚未观测，因而这个比例与全部随机分配者的成功比例之间，还隔着缺失结果所带来的不确定性。分母的纳入范围正是比例定义的一部分。

约分保留了分子与分母的相对大小：分子、分母同乘或同除一个非零数，比值不变，所以 $70/200=7/20$。百分数是在分母为 100 的尺度上表达同一比值，因此 $35\%=35/100$。相比之下，$0.35\%$ 等于 $0.0035$；两者相差一百倍，差异来自百分号本身所表示的除以一百。

对照组有 200 人、40 人成功，成功比例为 $0.20$。比较两组时，比例之差是 $0.35-0.20=0.15$，即 15 个百分点。这个差保持了比例原来的尺度，表示每一百人对应的成功人数差异。

若以对照组原有的成功比例为基准，相对增加是 $(0.35-0.20)/0.20=0.75$，即 75%。直接比较两组比例，则有 $0.35/0.20=1.75$。后两项都以基准比例作除数，因而表达相对大小，而非概率的绝对差。

“增加 15 人”描述人数变化，“增加 15 个百分点”描述比例变化，单位随所比较的量而定。百分点与相对变化的区别来自两种不同的比较尺度，亦见 风险差、风险比与优势比。这里的数字只描述虚构样本；样本比例与总体概率之间的抽样波动，是统计推断研究的另一层关系。

数学记号与运算范围

$=$ 表示精确相等，$\approx$ 表示近似。例如 $1/3\approx 0.3333$，右边的四位小数只保留了无限小数展开的一部分。舍入会引入一个小的数值差；经过连续运算，这个差可能累积。因此，推导与中间计算通常保留精度，在呈现结果时才作统一舍入。

$0\le p\le 1$ 把概率或比例的范围写成不等式，0 与 1 两端也包括在内。区间记号 $[0,1]$ 表示同一范围，而 $(0,1)$ 去掉了端点。圆括号在区间中表示端点是否纳入，在 $(a+b)/c$ 中则表示运算的结合方式；记号的含义由它所在的表达式决定。

括号规定哪些量先构成一个整体。$-(a-b)=-a+b$ 中，负号作用于整个差；$a/(b+c)$ 的分母是一个和，通常不等于 $a/b+a/c$。同样，$(70/200-40/200)/(40/200)$ 的分子是两个比例之差，整个差再除以对照组比例。这一层次结构把绝对差异转成相对于基准的变化。

函数及其定义域

函数 $f(x)$ 给每一个允许的输入 $x$ 指定输出。例如 $f(x)=2x+1$ 规定先把输入乘以二，再加一，因此 $f(3)=7$。$f$ 是函数的名称，括号中的 $x$ 是输入；这是一种函数记号，并非乘法。改记为 $g(x)=2x+1$，只更换名称，输入与输出的对应关系仍相同。

统计模型也可用函数表达条件与结果之间的关系。以 $x$ 表示年龄时，$f(x)$ 可以表示该年龄下的成功概率。概率的取值范围会约束函数形式：$f(x)=0.02x$ 在 $x=60$ 时给出 $1.2$，已经超过上限。因此，这个形式无法在所有年龄上都解释为概率，尽管代数上仍可以计算它。

这种限制可以用定义域与值域区分。定义域是函数允许的输入集合，值域是它实际可能给出的输出集合。$1/x$ 的输入排除 0，因为除法在该点无定义；实数函数 $\sqrt{x}$ 的输入满足 $x\ge 0$。代数变形只有在原表达式有定义的范围内，才能表示同一个问题。

指数与对数

$a^k$ 表示指数运算。对正数 $a$，零次幂与负次幂分别规定为 $a^0=1$、$a^{-k}=1/a^k$，从而同底相乘时仍满足 $a^u{a}^v=a^{u+v}$。例如 $10^3=1000$，$10^{-2}=0.01$。指数因此既能表达成倍增长，也能表达相应的倒数尺度。

对数把指数运算反过来：已知结果，求产生它的指数。$10^3=1000$ 对应 ${\log }_{10}(1000)=3$。自然对数以 $e\approx 2.71828$ 为底，写作 $\ln (x)$；统计文献也常写作 $\log (x)$。以下没有另作说明的 $\log$ 均指自然对数。

指数函数 $\exp (x)=e^x$ 与自然对数互为逆运算。对于任意实数 $x$，$\log (\exp (x))=x$；对于任意 $x>0$，$\exp (\log x)=x$。后一关系限定输入为正数，因为实数指数函数的输出总为正，0 与负数都没有对应的实数对数。

对正数 $a,b$，

$$\log (ab)=\log a+\log b,\log (a/b)=\log a-\log b.$$

乘法与除法能够转为对数的加减，原数的加法却没有相同性质。$\log (a+b)$ 一般不等于 $\log a+\log b$：取 $a=b=1$，左边为 $\log 2$，右边为 0。两边在一个允许的输入上不同，便足以否定普遍相等的命题。

对数在概率模型中的作用可以从取值范围理解。概率限制在 0 与 1 之间，而线性函数可以取任意实数。若希望用线性形式表达解释变量的影响，就需要一种连接这两个范围的变换。对 $0<p<1$，优势 $p/(1-p)$ 为正数，其对数可取任意实数，由此得到

$$\mathrm{logit}(p)=\log \frac{p}{1-p}.$$

例如 $p=0.20$ 时优势为 $0.25$，对数优势约为 $-1.3863$。反过来，若对数优势是 $z$，概率为

$$p=\frac{e^z}{1+e^z}=\frac{1}{1+e^{-z}}.$$

逆变换把对数优势尺度上的数值重新表达为成功概率。因此，一个在实数范围内描述影响的模型，也能给出位于概率范围内的预测。这一对应关系构成 二分类 Logistic 回归 的数学基础。

求和记号与样本均值

若有四位参与者，成功编码为 $x_1=1,x_2=0,x_3=1,x_4=1$，下标表示“第几位”。

$$\sum _{i=1}^4{x}_i=x_1+x_2+x_3+x_4=3.$$

大写希腊字母 $\Sigma$ 将一串加法写成紧凑形式。下方的 $i=1$ 是起始索引，上方的 4 是终止索引，右侧表达式规定每一项所加的量。$i$ 表示第几项，改写成 $j$ 不会改变总和；同一求和式中的索引须指向同一个观测次序。

平均数写作

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i.$$

分子加上全部 $n$ 个观测，除以 $n$ 便得到每个观测对应的平均量。本例的均值为 $3/4=0.75$。成功编码为 1、失败编码为 0 时，总和就是成功人数，因而均值等于成功比例。这种等价关系来自编码的计数含义；任意类别代码没有相同性质，见 数据类型与研究设计。

导数与积分的几何意义

函数在一点附近的变化可以由斜率描述，导数就是这种局部变化率。汽车位置随时间的变化率是速度；直线 $f(x)=2x+1$ 的斜率始终为 2，表示输入增加 1 时输出增加 2。曲线在不同位置的斜率可能不同，所以同一个模型参数也未必对应处处相等的概率变化。

积分描述局部贡献的累积。矩形面积等于宽乘高，曲线下的面积则可近似分成许多窄矩形的面积，再把它们相加。连续分布与密度 正采用这一关系：区间概率对应一段曲线下的面积，某一点的曲线高度表示密度，而不是该点的概率。

变化率与累积量这两个含义，足以解释这里出现的微积分关系；复杂积分技巧并非理解类别数据分析的前提。即使具体运算交给软件，计算所指向的人群及观测间的关系仍来自研究设计。分母与独立性的意义，因而属于模型解释，而非数值计算本身。

统计表达式的解释

统计表达式还受到所描述对象的取值限制。比例位于 $[0,1]$，人数为非负整数，函数输入属于定义域。边界情形能显示这些限制的作用：两组成功率相同时，比例差为 0；基准比例为正时，比例比为 1；分母为 0 时，通常的比值关系便失去定义。

具体例子赋予符号以对象、单位和范围，一般公式则把其中的关系延伸到其他允许的取值。理解数学语言，就是在这两个层次之间建立对应。有关这些数学基础的阅读资料见 参考教材与开放课程。

习题

1. 某组成功率从 8% 升到 12%。增加多少个百分点？相对增加多少？为什么两种答案都可能正确？
2. 数据为 $2,4,6$。写出 ${\sum }_{i=1}^3{x}_i$ 与 $\bar{x}$ 的结果。若每个数都加 5，平均数怎么变化？
3. 判断并说明理由：$\log (2\times 3)=\log 2+\log 3$；$\log (2+3)=\log 2+\log 3$；$\log 0=0$。
4. 模型给出对数优势 $z=0$。把它转换为概率，并解释为什么结果不是 0。

习题解答

1. 绝对差为 $12\%-8\%=4$ 个百分点；相对增加为 $(0.12-0.08)/0.08=0.50$，即 50%。第一种以比例本身为尺度，第二种以原比例为尺度，因此必须说明分母和用语。
2. 求和是 $2+4+6=12$，平均为 $12/3=4$。各数加 5 后总和增加 $3\times 5=15$，平均数增加 $15/3=5$，变为 9。这说明平均数会随整体平移而平移。
3. 第一式成立，因为对数把乘法转成加法。第二式不成立，右边为 $\log 6$、左边为 $\log 5$。第三式不成立；$\log 0$ 在实数范围无定义，真正等于 0 的是 $\log 1$。
4. $p=1/(1+e^0)=1/2$。$z=0$ 说明优势为 $e^0=1$，成功与失败概率相等，并不是成功概率为零。

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相关概念：风险优势与效应量。