08 连续分布与密度

离散变量的事件概率由各个取值的概率相加得到。等待时间等连续量则可以在一个区间内取任意位置；在具有密度的模型中，任一个精确取值的概率为零，而区间仍可具有正概率。因而，局部概率需要同时考虑区间的宽度与其中的集中程度。

概率密度表达这种集中程度。密度沿数轴累积后形成分布函数，使局部描述与阈值概率联系起来。均匀、指数和正态分布分别呈现区间内的均匀分配、恒定事件率下的等待，以及由位置和尺度确定的对称形状。

概率密度与区间概率

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x)$，则

$$f(x)\ge 0,{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1.$$

在一个区间内累积密度，得到该区间的概率：

$$P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

分布函数 $F(x)=P(X\le x)$ 则满足

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt.$$

按积分与函数的基础语言，积分可理解为许多很薄的小矩形面积的累积；在可微处，$f(x)=F^{\prime }(x)$。密度曲线的高度描述局部集中程度，面积则累积为概率。对很窄的区间，若密度变化不大，$P(x<X\le x+\Delta x)\approx f(x)\Delta x$，这正是小矩形面积的近似。

密度值可以大于 1。例如 $X$ 在 $(0,0.2)$ 上均匀分布，密度为 5，较高的密度与较窄的区间相配，总面积仍为 $5\times 0.2=1$。单点的区间长度为 0，因此对有密度的连续变量，$P(X=x)=0$。这个取值仍可以成为实际读数；零概率表达的是模型没有向任一个精确点分配正的概率质量。

实际仪器只记录到整数或小数两位时，一个记录值代表的是舍入区间，该区间可以具有正概率，所以重复读数与潜在连续模型相容。另一种情形是“零”本身具有特殊的生成机制，例如大量人完全没有消费。此时零值可能具有独立的点概率，需要含点质量的混合模型才能同时表示零值和连续部分。

密度的量纲由区间概率的无量纲性质决定。若 $X$ 的单位是分钟，$dx$ 的单位是分钟，$f(x)$ 的单位就是“每分钟”，使 $f(x)dx$ 没有单位。概率始终无量纲。把分钟换成秒时，密度高度必须改变，区间概率则保持不变。

均匀分布

若区间内相同长度的子区间具有相同概率，密度便在整个区间保持常数。总面积为一使这个常数等于区间长度的倒数。对于 $a<b$，$X\sim \mathrm{Uniform}(a,b)$ 的密度因此为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

端点是零长度的集合，因而端点处密度取什么有限值都不改变积分。对于 $a\le c<d\le b$，矩形面积给出

$$P(c<X<d)=\frac{d-c}{b-a}.$$

这里的均匀性体现为相同长度的子区间有相同概率；每个精确点的概率仍为零。

例如一辆班车严格每 10 分钟到达一次。如果乘客相对于发车周期的到站时刻均匀，且到站与车辆相位独立，那么等待时间可用 $W\sim \mathrm{Uniform}(0,10)$ 描述。因此

$$P(2<W<5)=\frac{5-2}{10}=\mathrm{0.30.}$$

其分布函数在 $0<w<10$ 内是 $F(w)=w/10$，区间外分别为 0 和 1。均值为 $(a+b)/2$，方差为 $(b-a{)}^2/12$。本例平均等待 5 分钟。

均匀等待来自乘客到站相位的均匀性。如果乘客看好时刻表才到站，到站相位会集中于发车之前；如果班车时刻不规则，等待区间也会变化。对位置缺少信息并未给出“等长区间等概率”这一条件，均匀模型仍是关于到站机制的具体假设。

指数分布

在恒定率 Poisson 过程中，等待超过一段时间，恰好意味着这段时间内没有事件发生。Poisson 分布的零事件概率因而给出等待的尾概率，从尾概率得到分布函数，再对分布函数求导便得到密度。这种等待称为指数分布；采用“率”参数化时，

$$W\sim \mathrm{Exponential}(\lambda ),f(w)=\lambda e^{-\lambda w},w\ge 0,\lambda >0.$$

这里 $\lambda$ 的单位是时间的倒数。分布函数记录截至给定时刻已经到达的概率，生存函数记录仍在等待的概率，二者分别为

$$F(w)=1-e^{-\lambda w},P(W>w)=e^{-\lambda w},w\ge 0.$$

若事件率为每分钟 0.2 次，则平均等待时间 $E(W)=1/\lambda =5$ 分钟，方差为 $1/{\lambda }^2=25$ 分钟平方。等待超过 5 分钟的概率是

$$P(W>5)=e^{-0.2\times 5}=e^{-1}\approx \mathrm{0.3679.}$$

等待 2 至 5 分钟的概率是

$$P(2<W\le 5)=F(5)-F(2)=e^{-0.4}-e^{-1}\approx \mathrm{0.3024.}$$

平均等待时间为 5 分钟，等待超过 5 分钟的人却不到一半。使两侧概率各占一半的是中位数：由 $F(m)=0.5$ 得到 $m=(\log 2)/\lambda \approx 3.466$ 分钟。指数分布右偏，右侧少量长等待对均值的贡献较大，因此均值高于中位数。

指数分布具有无记忆性：

$$P(W>s+t\mid W>s)=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}.$$

这里已等待与额外等待的时长都取非负值。已等 $s$ 分钟的条件在上式分母中出现，并与分子中的同一指数因子约去，因而剩余等待的条件分布与刚开始相同。几何分布具有相似结构，只是记录离散试验次数而非连续时间。二者分别依赖恒定成功概率或恒定事件率；设备磨损、排队拥堵或学习效应若改变这些量，无记忆性也会改变。

指数分布也可采用尺度参数 $\theta =1/\lambda$。本例的率 0.2 与尺度 5 描述同一模型，分别对应时间的倒数与时间本身。二者在公式中的位置及量纲不同，因此不能交换使用。

正态分布与标准化

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\sigma >0$，密度为

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right).$$

$\mu$ 控制中心位置；$\sigma$ 是标准差，控制水平尺度；${\sigma }^2$ 是方差。$X$ 与 $\mu$、$\sigma$ 具有相同单位，${\sigma }^2$ 是该单位的平方。例如 $N(100,15^2)$ 的第二个参数是方差 225；若将 225 作为标准差，得到的尺度将完全不同。

正态分布对称、单峰，支持整个实数轴，均值、中位数和众数均为 $\mu$。它的对称性和支持范围同时限定了适用情形：只能取非负值的变量若在正态近似中获得明显的负值概率，近似便与实际范围不符；长尾、偏态或多峰结构也可能使原始观测偏离正态形状。

标准化定义为

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1).$$

减去中心平移数轴，再除以标准差统一尺度，所以 $Z$ 没有量纲。不同位置和尺度的正态变量由此都能与同一个标准正态分布比较。令 $\Phi (z)=P(Z\le z)$，则

$$P(a<X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right).$$

例如某教学模型设测量值 $X\sim N(100,15^2)$。阈值 130 与均值相距 $130-100=30$，即 $30/15=2$ 个标准差。将这段距离放到标准正态尺度上，超过该阈值的概率便是 $P(X>130)=1-\Phi (2)\approx 0.02275$。

同理，$P(85<X<115)=\Phi (1)-\Phi (-1)\approx 0.6827$。正态模型中，离均值 1、2、3 个标准差以内的概率约为 68.27%、95.45%、99.73%。这些比例来自正态密度的面积，其他形状的分布可能具有不同的尾部概率，因而对任意数据采用同一异常值界限没有这样的概率依据。

标准化本身只是位置和尺度变换。对于均值、方差存在且方差非零的变量，它总能得到均值为 0、方差为 1 的变量，却保留原分布的形状；只有原变量正态时，结果才是标准正态。中心极限定理中出现正态形状，是合适条件下平均值的极限性质，与对单个变量做标准化属于不同的结论。

测量单位变换与密度

假设 $X$ 是以分钟计的等待时间，$Y=60X$ 是同一等待时间以秒计。长度 1 秒对应原来的 $1/60$ 分钟，因此

$$f_Y(y)=\frac{1}{60}{f}_X(y/60).$$

横轴扩大 60 倍，纵轴缩小 60 倍，总面积保持 1。若 $X\sim \mathrm{Exponential}(0.2)$，则 $Y$ 的率为 $0.2/60$ 每秒，而均值为 300 秒。这是量纲一致性的检验，也是在变量变换中出现导数因子的原因。

区间概率始终属于 0 至 1。阈值增大时，超过阈值的事件变小，因此尾概率不增加；测量单位变化时，同一时间区间只是采用另一组数值表示，所对应的事件及其概率保持不变。密度高度虽依赖坐标尺度，密度积分所描述的概率关系却具有一致性。

均匀、指数和正态模型的差异体现在支持范围、密度形状和参数含义中。密度通过积分产生区间概率，也能够对取值加权产生期望与方差。相关分布推导见 参考教材与开放课程。

习题

1. $X\sim \mathrm{Uniform}(2,6)$。求密度高度、$P(3<X<5)$ 和 $P(X=4)$。密度高度和概率有何区别？
2. 等待时间以小时计，指数分布率为每小时 4 次。求平均等待分钟数与等待超过 15 分钟的概率。
3. $X\sim N(50,4^2)$。求 $P(X\le 46)$ 和 $P(46<X<58)$，写出标准化步骤。
4. 一个右偏变量被标准化成均值 0、标准差 1。可以直接用 $\Phi$ 计算其区间概率吗？

参考解答

1. 密度为 $1/(6-2)=0.25$；区间概率为 $(5-3)/4=0.5$；单点概率为 0。密度描述单位长度上的概率浓度，乘以区间长度或积分之后才得到概率。
2. 平均等待 $1/4$ 小时，即 15 分钟。15 分钟是 0.25 小时，所以尾概率为 $e^{-4\times 0.25}=e^{-1}\approx 0.3679$。率和时间必须使用一致单位。
3. 46 对应 $z=(46-50)/4=-1$，所以 $P(X\le 46)=\Phi (-1)\approx 0.1587$。58 对应 $z=2$，因此区间概率为 $\Phi (2)-\Phi (-1)\approx 0.97725-0.15866=0.81859$。
4. 不能。标准化改变位置和尺度，保留分布形状的偏态特征。必须知道或估计原分布，或者对适当的平均值使用满足条件的近似。

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相关概念：概率质量密度与分布函数。