符号与公式

概率统计中的记号区分了几类对象：可能发生的事件、随抽样变化的数据、固定但未知的参数，以及由数据构造的估计量。公式在这些对象之间建立关系，其概率解释还依赖抽样设计与模型条件。下文按从概率模型到统计推断的顺序汇集常用表达式，并说明它们的数学含义。

主要记号

符号	含义	解释条件
$\Omega ,A,B$	样本空间、事件	事件是集合
$X,x$	随机变量、某个取值	大写常表示抽样前的随机性
$p_X(x),f_X(x),F_X(x)$	质量函数、密度、分布函数	$F_X(x)=P(X\le x)$
$\theta ,\hat{\theta }$	参数、估计量／估计值	参数固定，估计量随抽样变化
$\mu ,{\sigma }^2,\bar{X},S^2$	总体均值方差、样本均值方差	总体均值、有限方差的存在需相应矩有限
$n,SE$	样本量、标准误	$n$ 需对应独立信息单位
$H_0,H_1,\alpha$	零／备择假设、显著性水平	备择和方向应在看结果前确定
${\beta }_j,\eta ,g$	回归系数、线性预测子、链接	解释依赖编码、尺度与其他变量

概率与矩

给定一个已发生的条件事件，计算范围缩小到该事件之内。条件概率的分子是同时满足条件与目标的交集概率，分母则将新的范围归一化：

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)>0.$$

分母必须为正，这使条件范围具有可用于重新比较的概率。独立要求 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，说明联合概率能够分解；互斥要求 $A\cap B=\varnothing$，说明两个事件的交集为空。两者分别约束概率关系和集合关系。贝叶斯公式通过同一个联合概率转换条件方向，全概率则按互斥来源汇总，详见 第 05 章。

期望是按概率加权的平均。离散模型使用求和，具有密度的连续模型使用积分；方差进一步概括数值围绕该平均的平方偏离：

$$E(X)=\sum _{x}x{p}_X(x)\text{或}{\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X(x)dx,\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2.$$

有限期望要求绝对可积，有限方差要求二阶矩有限。上述方差表达式由平方偏离展开后取得，不能在相关矩不存在时直接套用。

在相应条件下，$E(aX+b)=aE(X)+b$，$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$。平移改变中心而不改变散布，尺度变换则按平方改变方差。两变量之和的方差还包含 $2\mathrm{Cov}(X,Y)$，表示两者共同变化的贡献。因此，期望的线性性不要求独立，方差相加却需考虑关联。关于矩和变量变换，见 第 09 章；协方差与条件矩见 第 10 章。

常用分布

分布名称概括的是结果产生的机制。固定试验次数的成功计数，与一直试验到首次成功的等待次数，具有不同的样本空间；固定观察窗口内的事件计数，与连续时间上的等待，也有不同的量纲。下表保留这些支持范围及主要参数特征。

模型	支持与概率／密度	均值、方差与前提
Bernoulli$(p)$	$x\in \{0,1\}$；$p^x(1-p{)}^{1-x}$	$p,p(1-p)$
Binomial$(n,p)$	$k=0,\dots ,n$；$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$	$np,np(1-p)$；独立同概率试验
Geometric$(p)$，从 1 计	$k=1,2,\dots$；$(1-p{)}^{k-1}p$	$1/p,(1-p)/p^2$；试验独立、成功概率固定
Poisson$(\lambda )$	$k\ge 0$ 整数；$e^{-\lambda }{\lambda }^k/k!$	$\lambda ,\lambda$；计数机制需合适
Uniform$(a,b)$	$a<x<b$；密度 $1/(b-a)$	$(a+b)/2,(b-a{)}^2/12$
Exponential$(\lambda )$	$x\ge 0$；$\lambda e^{-\lambda x}$	$1/\lambda ,1/{\lambda }^2$；这里参数为率
Normal$(\mu ,{\sigma }^2)$	全实数；钟形密度	$\mu ,{\sigma }^2$，$\sigma >0$

表中的概率质量在可能取值上求和，密度则在支持区间上积分，两种运算分别恢复概率总量。端点处的概率质量与密度值也具有不同含义，详见 第 06 章。独立同概率、恒定事件率及参数化方式等生成条件，分别在 第 07 章 和 第 08 章 中展开。

估计与区间

均值是整份样本的函数，其波动与单个观测的波动不同。独立同分布且方差有限时，$SE(\bar{X})=\sigma /\sqrt{n}$，使用 $S/\sqrt{n}$ 估计。样本标准差也随抽样变化；在正态总体中，将这种额外不确定性纳入后，得到均值的精确 t 区间：

$$\bar{X}\pm t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}.$$

t 临界值来自学生化均值的抽样分布。正态条件提供精确的分布依据，一般非正态数据中的应用通常依赖近似，其质量受尾部、样本量与设计影响。精确与渐近结果的区别见 第 12 章。

二项比例 $\hat{p}=k/n$ 的不确定性还取决于事件概率。Wilson 区间从候选概率下的标准化偏离出发，将与数据相容的候选值收集为区间。它可写成 $c\pm h$，其中 $z=z_{1-\alpha /2}$：

$$c=\frac{\hat{p}+z^2/(2n)}{1+z^2/n},h=\frac{z}{1+z^2/n}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}.$$

中心和半宽中的附加项来自这一候选值比较，而不是任意修补端点。Wilson 通常比普通 Wald 区间稳定，其实际覆盖率仍随 $n,p$ 变化，未必达到名义水平。区间反演的推导见 第 14 章，实际覆盖率的计算见 仿真。

二乘二表的效应量

组内概率之差、概率之比与优势之比对应不同效应尺度。为使比较方向明确，下表以第一行干预、第二行对照，第一列成功、第二列失败表示频数。公式中的组内比例和效应量是由计数得到的样本估计，此处沿用其简写符号。

	成功	失败
干预	$a$	$b$
对照	$c$	$d$

$$p_1=\frac{a}{a+b},p_0=\frac{c}{c+d},RD=p_1-p_0,RR=\frac{p_1}{p_0},OR=\frac{ad}{bc}.$$

组间没有差异时，风险比与优势比均为一。对数变换将乘法差异转换为加法，便于使用大样本近似表达不确定性。两组独立、各格计数为正且近似适当时，对数估计量的标准误为：

$$SE(\log RR)=\sqrt{\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{c+d}},SE(\log OR)=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}.$$

这些标准误中的倒数项说明，信息较少的格子会对估计波动产生较大贡献。在 log 尺度上取得区间后，对端点作指数变换即可回到比值尺度。零格使相应对数或倒数无法直接使用，小样本可能使近似较差，非独立设计则改变方差结构。效应量与区间的推导见 第 18 章。

关联检验与广义线性模型

在列联表独立模型中，联合比例由边际比例相乘形成，拟合期望频数为 $E_{ij}=n_{i+}{n}_{+j}/n$。Pearson 统计量把观察与期望的偏离平方，并以期望频数调整尺度：

$$X^2=\sum _{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$$

边际约束减少了可以自由变化的方向，得到自由度 $(r-1)(c-1)$。在适当条件下，统计量近似服从相应卡方分布；结构零、拟合参数和不同设计会改变支持范围或约束。具体论证见 第 19 章。

广义线性模型通过链接函数把条件均值与线性预测子联系起来。Logistic 模型为 $\log [p/(1-p)]=\eta =X\beta$，逆链接为 $p=1/(1+e^{-\eta })$，从而使模型概率保持在允许范围内。无交互、变量以线性项进入模型且设定相应成立时，增加一单位的条件优势比为 $e^{{\beta }_j}$；概率的相对变化还需另算风险比。参数的尺度与解释见 第 23 章。

Poisson 回归常写 $\log E(Y\mid X)=X\beta +\log t$，其中 $\log t$ 是暴露量的 offset。暴露量决定相同发生率下预期计数如何随观察时间或机会增加，offset 保留了这项已知比例关系，详见 第 26 章。

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