14 置信区间

一份样本给出一个点估计，另一份样本却可能给出不同数值。参数固定而估计变化，因此参数的未知程度不能由单个估计值完整表达。如果某个候选参数能够产生与观测相近的结果，它就仍与数据相容；将符合一定标准的候选参数汇集起来，可以得到一个区间。

区间的依据来自抽样分布，准确性则由重复抽样中的覆盖率描述。Wilson 比例区间和正态均值的 $t$ 区间虽然形式不同，都建立了观测结果与候选参数之间的关系。近似、离散性以及观测之间的依赖，会影响这一关系的覆盖性质。

从点估计进入区间估计，需要把抽样分布与标准误纳入推理。下面两个构造都使用正态分布及其相关分布的分位点，但这种计算并不改变频率学派中参数固定、样本随机的设定。

置信区间与覆盖率

设未知参数为 $\theta$，区间的下限 $L(X)$ 和上限 $U(X)$ 都由样本决定。对于给定模型与抽样设计，如果

$$P_{\theta }\{L(X)\le \theta \le U(X)\}=0.95,$$

所得程序便具有 $95\%$ 覆盖率。重复进行相同研究，参数保持固定，样本与区间端点却不断变化；生成的区间中，约 $95\%$ 会包含真实参数。这一长期比例衡量区间构造方法的准确性。

数据确定后，区间端点也随之固定，此区间已经包含或没有包含真实参数。$95\%$ 仍是构造程序的长期覆盖率，不能转为固定参数落在这个已知区间中的概率。贝叶斯可信区间之所以能具有参数概率的解释，是因为先验和后验模型为参数建立了另一套概率结构。

实际覆盖率不一定与名义水平恰好一致。近似方法的覆盖率可能随参数和样本量变化，未必处处达到 $95\%$；离散数据的精确方法又可能偏保守。名义上的 $95\%$ 因而是方法的目标水平，实际表现仍由相应分布和近似决定。

例如，“在独立二项抽样假设下，成功率估计为 $20.0\%$，Wilson $95\%$ 置信区间为 $15.0\%$ 至 $26.1\%$”，同时给出了目标参数、方法和抽样假设。“有 $95\%$ 把握”若脱离这些对象，就难以确定所指的概率性质。

比例的 Wald 区间

独立二项样本中的样本比例为 $\hat{p}=X/n$。将未知成功概率替换为观测比例，得到标准误估计

$$\widehat{SE}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.$$

将这一标准误用于正态近似，得到 Wald 区间 $\hat{p}\pm 1.96\widehat{SE}$。比例处于中间范围且样本充分时，近似可以提供粗略的精度描述；样本小或比例接近 $0$、$1$ 时，观测比例对标准误的替代可能导致很差的覆盖率。

边界样本尤其能说明问题。$10$ 人中零人成功时，$\hat{p}=0$，代入的标准误为 $0$，Wald 区间退化成 $[0,0]$。然而，真实成功率为 $0.1$ 时，全部失败的概率仍为 $0.9^{10}\approx 0.349$。零成功并不排除这样的正成功率，退化区间却把它排除在外。

将负端点截成 $0$、大于 $1$ 的端点截成 $1$，只改变区间显示的范围，没有改变它在重复抽样中遗漏真实参数的概率。Wilson 区间和适当的精确方法提供了不同的构造，因此通常更适合作为比例推断的起点。

比例的 Wilson 区间

二项模型不仅给出候选成功率 $p$，还给出样本比例在该模型下的波动。比较 $\hat{p}$ 与 $p$ 时，以候选模型中的 $p$ 计算标准误，便能判断观测离这个候选值有多少个标准误。Wilson 方法将不超过临界距离的候选参数保留下来；Wald 方法则预先把观测比例 $\hat{p}$ 代入标准误，忽略了这项参数依赖。

$$\left|\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\right|\le z_{0.975},z_{0.975}\approx \mathrm{1.96.}$$

上式用于严格介于 0 与 1 之间的候选概率。改写为下述二次不等式后，端点 0 与 1 也可直接判定：它们分别对应全失败和全成功的退化二项模型，只有观测结果与相应退化模型一致时才被保留。所有保留的 $p$ 构成参数区间。这种构造称为检验反演：每个候选值都对应一次相容性判断，所有未被排除的值组成区间，与假设检验使用同一参照关系。

把两边平方，将分母移到右侧，再把各项按 $p$ 的次数整理，得到二次不等式：

$$(n+z^2)p^2-(2n\hat{p}+z^2)p+n{\hat{p}}^2\le 0.$$

二次项系数为正，满足不等式的值位于两个根之间。把两根写成中心加减半宽的形式，得到

$$c=\frac{\hat{p}+z^2/(2n)}{1+z^2/n},h=\frac{z}{1+z^2/n}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}.$$

因此，Wilson 区间为 $[c-h,c+h]$。相较于直接围绕样本比例作对称区间，它的中心略向 $0.5$ 移动，半宽中还有额外一项。即使观测比例处在边界，这一项仍保留了不确定性，区间不会退化成单点。

教学实验中对照组的区间计算

1. $\hat{p}=40/200=0.20$，$z^2\approx 3.8416$。
2. 分母 $1+z^2/n\approx 1.019208$。
3. 中心为 $(0.20+3.8416/400)/1.019208\approx 0.205654$。
4. 根号内为 $0.20\times 0.80/200+3.8416/(4\times 200^2)\approx 0.00082401$。
5. 半宽约 $0.05520$，最终区间约 $[0.1505,0.2609]$。

同一虚构随机实验中，干预组 $70/200$ 的 Wilson 区间约为 $[0.2873,0.4184]$。两组各自的区间估计各自的成功率，而组间比较估计的是两个参数的函数，例如风险差或风险比。函数本身有自己的抽样分布，所以单组区间是否重叠不能代替差异检验。相应区间的计算见风险差、风险比与优势比。

对于 $0/10$，Wilson 区间约为 $[0,0.2775]$，因而仍包含一段正成功率。Wilson 使用正态得分近似，覆盖率并非严格的小样本保证；涉及稀疏列联表或需要特定覆盖保证时，精确方法会从离散分布本身构造区间和检验。

正态总体均值的置信区间

设 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，目标是未知总体均值，且总体标准差也未知。以随机量 $S$ 表示样本标准差，以 $s$ 表示它的观测值，均值的标准化偏离满足

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}.$$

标准差由样本估计，因此分母也随重复抽样变化；$s$ 只是抽样后得到的一个数值。这项额外波动使标准化偏离服从尾部较厚的 $t$ 分布。由其分位点关系反演参数，得到

$$\bar{x}\pm t_{n-1,0.975}\frac{s}{\sqrt{n}}.$$

例如，$16$ 名独立受试者的测量均值为 $12$，样本标准差为 $4$，所以均值标准误为 $4/\sqrt{16}=1$。自由度 $15$ 的临界值约为 $2.1314$，乘以标准误得到区间半宽，均值的 $95\%$ 区间为 $[9.8686,14.1314]$。

均值区间的目标是总体均值，而新个体的数值还含有个体自身的变异。因此，即使均值估计已经精确，个体之间也可以存在较大差异；预测新个体时，将这部分波动纳入后，区间通常宽得多。

独立正态样本使上述 $t$ 分布关系精确成立。总体非正态时，有限方差等条件可为中心极限定理近似提供依据，但严重偏态、厚尾、极端离群值和小样本都会影响近似质量。质量取决于分布形状与样本量的共同作用，“是否超过 $30$”不是充分条件。

同一人干预前后的测量彼此相关，但不同人的差值可以成为新的独立观测单位，配对区间因而建立在差值均值的抽样分布上。两独立组的均值差则依赖两组各自的方差；方差不同时通常采用 Welch 方法，合并方差需要额外的等方差假设。

区间宽度与推断范围

提高置信水平，需要保留更多可能的抽样结果，因此在相同方法与设计下会使区间变宽。样本量增加则通常使宽度按约 $1/\sqrt{n}$ 缩小；标准误减半往往需要约四倍的独立样本，两倍样本不足以达到同样精度。比例的波动还受 $p(1-p)$ 控制，在 $p=0.5$ 附近最大。

区间的抽样分布来自给定模型，因此常规区间不会自动包括漏报、测量错误、选择偏差、模型错误或分析选择造成的偏离。线上志愿问卷若只覆盖愿意回答者，增加回答人数会提高对这类人的估计精度，却未必使其代表所有用户；很窄的区间仍可能围绕一个有偏的目标。

单个参数的覆盖与多个参数的同时覆盖也是不同事件。每个区间各有 $95\%$ 覆盖率，并不保证全部区间同时覆盖的概率为 $95\%$；如果按结果大小筛选区间，原来的无条件覆盖性质也会改变。多重比较研究的就是成组结论所需的错误控制。

区间与检验的联系

置信水平属于区间构造程序，观察到的区间则是它的一次实现。端点的随机性由抽样机制产生，名义水平与实际覆盖率的差异由近似和离散性产生；它们共同决定区间推断的范围。

Wilson 区间通过候选比例下的检验关系反演，均值区间则利用枢轴量。前者保留未被排除的候选值，后者利用分布不依赖未知参数的标准化量，二者都将参数与数据在抽样分布中联系起来。这一联系也给出了检验中的极端程度与程序错误率。相关理论见 参考教材与开放课程。

习题

1. 一个固定样本得到 $95\%$ 置信区间 $[0.15,0.26]$。请改写“真实比例有 $95\%$ 概率位于其中”，并说明这个区间为何不是 $95\%$ 个体的数值范围。
2. $10$ 人中无人成功，为什么不能报告成功率 $0\%$、区间 $[0,0]$？用 $p=0.1$ 时零成功的概率解释。
3. 独立正态样本 $n=16$、$\bar{x}=12$、$s=4$。求 $95\%$ 均值区间；若相同分布下样本量变为 $64$，标准误约怎样改变？
4. 两组比例的各自 $95\%$ 区间有重叠，能否直接断言组间差异不显著？说明应计算什么。

参考解答与推理

1. 应说该方法在相同抽样机制下重复使用，生成的区间约有 $95\%$ 包含真实比例；本次区间是这一程序的结果。参数是总体比例，个体取值则为 $0$ 或 $1$，两个对象不同。
2. $p=0.1$ 时零成功的概率为 $0.9^{10}\approx 0.349$，并不罕见。Wald 区间在观测比例为零时把估计波动错误压成零。Wilson 区间约为 $[0,0.2775]$，能够表达有限样本的信息限制。
3. 标准误为 $1$，使用 $t_{15,0.975}\approx 2.1314$，区间为 $[9.8686,14.1314]$。若标准差水平相同，$n=64$ 时标准误约为 $4/8=0.5$，但临界值也会略变小，因此区间宽度并非机械保持其他一切不变。
4. 不能。两个单组区间的重叠与“差异估计除以其标准误”不是同一规则。应为目标差异直接构造区间或进行相应检验，同时使用正确的独立或配对设计。

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