21 配对、分层与辛普森悖论

同一个 $2 \times 2$ 表形式可以保存不同的联合结构。独立两组的频数比较不同个体，配对频数比较同一个体的两次结果，分层频数则在给定基线条件后比较组别。计数的来源决定哪些随机变化相互关联，也决定效应量对应哪一种总体关系。

配对资料中的差异由两种变化方向决定；分层资料中的总体比例则同时依赖层内概率和各层权重。前者导出 McNemar 的条件二项分布，后者说明辛普森反转如何发生。条件优势比与边际优势比的比较还涉及非线性尺度，即使权重一致，两者也可能不同。

研究设计确定了频数所保存的联合关系，效应量确定比较尺度；在精确检验的条件化思想下，可以推导不同结构的参照概率。

二元结果的配对结构

设一份虚构资料记录 100 人在两个时点的二分类结果，配对频数如下：

第一次结果	第二次成功	第二次未成功	合计
成功	30	6	36
未成功	18	46	64
合计	48	52	100

第一次成功率为 $36%$ ，第二次为 $48%$ ，上升 12 个百分点。这里的两次比例来自同一批 100 人。由成功变为未成功的 6 人使差值减少，由未成功变为成功的 18 人使差值增加；一直成功的 30 人和一直未成功的 46 人前后相抵。这说明边际比例之差由不一致配对决定。

若以 $b$ 表示“未成功→成功”人数，以 $c$ 表示“成功→未成功”人数，上述相抵关系给出样本边际成功率之差：

\hat{Δ} = \frac{b - c}{n} .

两个时点的总体边际成功率相同，当且仅当两个变化方向的概率相等，这就是 McNemar 原假设。条件参照分布假定不同配对独立同分布，即各对来自同一个联合概率模型；个体内部的两次结果可以相关，每对的两个二分类结果须被正确观测。

边际频数只保留各时点成功人数，配对频数还保留谁发生变化。相同的边际比例可能对应很多人同时向相反方向变化，也可能对应很少的人变化。两种情形有相同的净差，却有不同的抽样波动：相关性经由个体的前后差值进入方差，单凭边际总数无法恢复。

McNemar 检验

在上述独立同分布配对模型下，条件于不一致配对总数 $m = b + c$ ，原假设把每个不一致对的两个方向赋予相同概率 $1/2$ 。因此，只考察已经变化的人向哪个方向变化，便得到条件二项分布：

B ∣ (B + C = m) \sim Binomial (m, 1/2) .

本例的方向频数为 $b = 18, c = 6, m = 24$ 。对称二项分布的两侧尾概率相加，得到

p = 2 P {Binomial (24, 1/2) \leq 6} \approx 0.022656.

参数为 $1/2$ 的二项分布关于中心对称，较小尾部在另一侧有等概率的对应尾部，因此双侧概率可取较小尾部的两倍，最大为 1。Fisher 双侧检验采用的条件分布可能不对称，其双侧概率排序一般没有这项对称关系。

不一致配对数增大时，方向次数差可以用正态分布近似，将其标准化后平方得到

X_{M}^{2} = \frac{( b - c ) ^{2}}{b + c}

该统计量近似服从自由度 1 的卡方分布。本例 $144/24 = 6$ ，相应 $p \approx 0.0143$ 。连续性校正把离散方向差作进一步修正，常用形式为 $max (∣ b - c ∣ - 1, 0)^{2} / (b + c)$ ，本例约为 5.0417。精确二项、未校正渐近与连续性校正各有自己的参照计算，因而同一配对表可能得到不同数值。

本例用于比较方向的试验次数为 24，总人数为 100。一致对可以很多，方向比较的信息却仍由不一致对提供，故总人数本身不足以说明正态近似的质量。当 $b + c = 0$ 时，两个方向都未出现，方向概率缺少观察信息；通常把这种情形的精确概率记为 $p = 1$ ，平方差公式则因分母为零而失去定义。

配对风险差与配对优势比分别概括不同方面的变化。风险差的区间依据个体前后差值的波动，其中包含两次结果的协方差；两个独立比例之差的标准误没有这项配对结构。配对优势比以两种不一致结果的相对概率为对象，样本估计为 $b / c$ ，本例为 3。它比较变化方向，与从两个时点边际成功率计算的普通 OR 不同。

McNemar 检验评价边际成功率的变化，变化原因则取决于研究设计。干预、时间趋势、熟悉测验和其他同期措施都可能影响前后结果，单一前后比较没有把这些影响分开。含对照的合适设计为因果解释提供进一步依据，相关讨论见因果识别。

分层比较与辛普森悖论

另一份观察性虚构资料有两个独立组，但基线难度构成不同。合计人数恰好与贯穿教程的实验相同，两份数据的来源却不同；以下分层表仅属于这份另行构造的观察资料：

难度层	对照成功／总数	对照成功率	干预成功／总数	干预成功率
较容易	20／40	50.0%	65／150	43.3%
较困难	20／160	12.5%	5／50	10.0%
合并	40／200	20.0%	70／200	35.0%

两个层内的干预成功率均低于对照，合并以后却高于对照。这种比较方向的反转称为辛普森悖论。层内比例各自比较同一难度，合并比例则用两组各自的难度权重平均，因此两种比较包含的信息不同。

较容易者在对照中占 $40/200 = 20%$ ，在干预中占 $150/200 = 75%$ 。把相应权重用于层内成功率，得到

\overset{p}{^}_{C} = 0.2 \times 0.5 + 0.8 \times 0.125 = 0.20,

\overset{p}{^}_{T} = 0.75 \times (65/150) + 0.25 \times 0.10 = 0.35.

干预组给成功率较高的容易层更大权重，足以使合并率超过对照。若两组均以各层 $50%$ 加权，对照标准化率为 $31.25%$ ，干预为 $26.67%$ 左右。共同权重把组间难度构成差异从这项比较中移开；它同时指定了所比较的目标人群，权重不同也会得到不同的标准化风险。

此例的难度既与接受干预相关，又影响成功概率，因而是合理的潜在混杂因素。调整的理由来自变量在数据生成过程中的位置。干预后的中介可能传递干预影响，碰撞变量则可能在条件化时引入新的关联；仅凭调整后 OR 发生变化，无法确定某变量具有混杂角色。

Mantel–Haenszel 估计与检验

设第 $k$ 层为

组别	成功	未成功
干预	$a_{k}$	$b_{k}$
对照	$c_{k}$	$d_{k}$

该层的总人数为 $n_{k} = a_{k} + b_{k} + c_{k} + d_{k}$ 。各层 OR 足够相近时，可用一个共同参数表达给定层后的组间关联。Mantel–Haenszel 估计将相应交叉乘积汇总为

OR_{M H} = \frac{\sum _{k} a _{k} d _{k} / n _{k}}{\sum _{k} b _{k} c _{k} / n _{k}} .

容易层的四格频数为 $(65, 85, 20, 20)$ ，困难层为 $(5, 45, 20, 140)$ 。代入共同条件 OR 的公式，得到

OR_{M H} = \frac{65 \times 20/190 + 5 \times 140/210}{85 \times 20/190 + 45 \times 20/210} \approx 0.769.

容易层 OR 约 0.765、困难层约 0.778，二者接近，共同 OR 也在相近范围内；合并 OR 为 $28/13 \approx 2.154$ ，描述的是包含层构成差异的另一项比较。MH 对交叉乘积按层规模加权，因而不是层内 OR 的简单算术平均。

Cochran–Mantel–Haenszel（CMH）检验考察层内无关联的原假设。每层边际给定后，成功标签在组间的分配具有超几何结构，所以 $a_{k}$ 的期望和方差为

E_{k} = \frac{( a _{k} + b _{k} ) ( a _{k} + c _{k} )}{n _{k}},

V_{k} = \frac{( a _{k} + b _{k} ) ( c _{k} + d _{k} ) ( a _{k} + c _{k} ) ( b _{k} + d _{k} )}{n _{k}^{2} ( n _{k} - 1 )} .

各层独立时，方向偏差可以相加，方差也随之相加。适宜的大样本条件下，标准化总偏差的平方 $[\sum_{k} (a_{k} - E_{k})]^{2} / \sum_{k} V_{k}$ 近似服从自由度 1 的卡方分布。层之间及适当观察单位之间的独立性决定这种方差相加的依据；稀疏层的离散分布也可能使渐近近似不充分，可采用相应精确方法。

若层内效应明显不同，共同 OR 会把这种变化平均掉，分层效应、区间和交互更能表达数据中的关系。异质性检验未显著只是证据不足，并不能确立各层完全相同。连续年龄切分得很细时，各表信息变少；切分得很粗时，同层仍可能有剩余年龄差异。这些稀疏与残余混杂问题促使分层进一步扩展为回归调整。

优势比的非可塌缩性

组间层构成不平衡是一种来源于人群权重的差异。OR 还有另一项数学性质：即使干预随机分配、与基线风险独立，条件 OR 也可能不同于总体 OR。这称为 OR 的非可塌缩性。

设两个风险层在两组中都各占 $50%$ ，对照成功概率分别为 $0.10$ 和 $0.60$ ，每层干预相对对照的条件 OR 均为 2。把各层优势乘以 2，再从优势转换回概率，得到

\frac{2 \times 0.10}{1 - 0.10 + 2 \times 0.10} = \frac{2}{11} \approx 0.1818, \frac{2 \times 0.60}{1 - 0.60 + 2 \times 0.60} = 0.75.

按相同权重平均，对照总体概率为 $0.35$ ，干预总体概率约为 $0.4659$ 。两种边际概率对应的总体 OR 为

\frac{0.4659/ ( 1 - 0.4659 )}{0.35/ ( 1 - 0.35 )} \approx 1.620,

两层的条件 OR 为 2，合并后的 OR 却不同。两组具有完全相同的层构成，这个差别没有包含层分布不平衡所造成的混杂。原因是优势为概率的非线性函数：先对概率平均再求优势比，与分别在各层求优势比，通常不产生同一个结果。

粗 OR 与调整 OR 的差异因而可以同时包含人群构成和非可塌缩性的影响，无法直接读成“消除了多少混杂”。条件关联对应给定协变量后的比较，人群边际效应则对应概率的共同加权平均；从拟合模型预测并按共同人群标准化，可把两种统计对象分开。

联合结构与效应尺度

配对保留个体内部的共同结果，使方向比较以不一致对为信息来源；分层保留基线条件，使人群比例表达为层内概率的加权平均。辛普森反转与 OR 非可塌缩性分别揭示权重和效应尺度的作用。统计对象的差别，解释了为何同一组边际频数可能支持不同的分析。

连续协变量和多个因素同时出现时，逐层列联表的数目迅速增加。回归以条件均值函数表达这些关系，从而延续分层的思想。分层方法的数学背景见参考教材与开放课程。

习题

两份配对资料都由 40% 成功升到 50%，一份有 10 个不一致对，另一份有 50 个。仅凭两个边际比例能否得到相同的检验？
本例 McNemar 精确检验为什么使用 24 而不是 100 作为二项试验次数？
较容易／较困难例子中，为何干预总体率更高而各层率更低？应直接宣称干预有利吗？
在随机实验中，调整前 OR 为 1.62、条件 OR 为 2，是否足以证明有混杂？

参考解答

不能。边际差只确定 $b - c$ ，不确定 $b + c$ ；McNemar 的参照分布和标准误依赖不一致对数。因此必须保留配对交叉表。
一致对对两个边际之差贡献为零。原假设下的条件问题是：已经变化的 24 对，向两个方向分配是否符合各半？
两组使用不同的难度权重，干预组容易者更多。观察性总体比较混合了组别关联和人群构成；应结合设计、分层、标准化以及未测混杂来解释。
不足。OR 非可塌缩性就能在无混杂、层构成一致时产生这种差别。需要因果和设计信息，而不只是两个 OR。

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相关概念：观测单位与独立性 · 混杂与因果识别。

description	由配对与分层结构解释 McNemar 和 Mantel–Haenszel 方法，并区分辛普森反转、混杂与非可塌缩性。
tags	概率统计, 分类数据分析

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